文档介绍：第四章:曲线坐标系张量分析张量场函数:笛卡尔坐标系下坐标线:只变化一个曲线坐标时,矢径的轨迹。直线坐标系下,坐标线都是直线。当,,,坐标线中至少有一个是曲线时,称为曲线坐标系协变基:所以:基矢量的导数基矢量的导数还是矢量,因而可以用基矢量的线性组合表示:其中称为第二类Christoffel符号,称为第一类Christoffel符号。Christoffel符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上:1指标对称性第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量(第二个协变指标)对哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。由此可见,Christoffel符号相对它的两个协变指标是对称的。②不是张量在直线坐标系中,由于基矢量不随坐标而改变,所以第二类Christoffel符号全部为零。如果它是张量,它在任意坐标系中都应是零。③与第一类Christoffel符号之间的联系由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标,所以可以通过度量张量进行升降。④逆变基矢量的导数与度量张量分量导数之间的关系(a)(b)(c)(b)+(c)-(a)    例题:求对曲线坐标的导数Hamilton算子定义它的涵义是:Hamilton算子是一种具有坐标不变性微分算子,计算结果与坐标系的无关:例如:设张量 ,则有:其中: 张量分量的协变导数。由于: 可见张量分量的协变导数是张量。:缩并i,k指标:先缩并后求导(自由指标减少2个):因此:Riemann-Christoffel张量(二阶张量)互换k,j指标,可得:可以证明:(后两个指标为求导指标;前两个指标为分量指标)是张量,称为藜曼曲率张量(Riemann-Christoffel)(构成法:将Christoffel符号的m指标看作张量指标求协变导数,将Christoffel符号的m指标看作张量指标求协变导数,两者相减)藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直线坐标使Christoffel符号全部等于零,因此,欧式空间的特征是藜曼曲率张量等于零,矢量(张量)的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面可以看成是二维空间,如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零,则这张曲面就可以展开成平面(曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线段的长度)。如圆柱面、锥面。通过将R-C张量表达为度量张量的函数,可以证明: