文档介绍：四、多元线性回归模型的延伸
在实际经济活动中,经济变量的关系是复杂的,直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的C-D生产函数表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线(Pillips cuves)表现为双曲线形式等。
但是,大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理,使之化为数学上的线性关系,从而可以运用线性回归模型的理论方法。
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法
例如,描述税收与税率关系的拉弗曲线:抛物线
s = a + b r + c r2 c<0
s:税收; r:税率
设X1 = r,X2 = r2, 则原方程变换为
s = a + b X1 + c X2 c<0
倒数模型
模型特点:随着x无限增大, 项趋于0,y趋于极限值。
分三种类型:
2>01<0
x
y
-1
2>01>0
x
y
1
2<01>0
x
y
1
平均固定成本与产出水平
菲利普斯曲线
恩格尔曲线
倒数模型的线性化:令原方程变为:y=1+2zi+i
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法
例如,Cobb-Dauglas生产函数:幂函数
Q = AKL
Q:产出量,K:投入的资本;L:投入的劳动
方程两边取对数:
ln Q = ln A +  ln K +  ln L
对数线性模型——测度弹性
对数线性模型的特点:斜率系数测度了Q对L的弹性:
ln Qi = ln A +  ln Ki +  ln Li+i
例美国咖啡需求:1970-1980
美均真实零售价格(x)数据如表,(x=名义价格/食品与饮料的消费者价格指数,1967年=100),求咖啡消费函数。
输入数据
建立模型: lny=+lnx+i
参数估计:
与线形模型比较
线性模型
对数线性模型
R2= 1=-
R2= 1=-
哪个模型更好(参数估计的精度、拟合程度)? 回归参数的意义?
不可比
R2的可比性问题
根据判定系数来比较两个模型的时候,一定要注意样本容量n和因变量都必须相同,而解释变量则可取任何形式。
对咖啡需求的两个模型:
yi=+xi+i
lnyi=+lnxi+I
R2项是不可直接相比的,因为它们是不同尺度的。要比较必须进行处理。
不同尺度R2的比较方法
以咖啡需求为例
yi=+xi+i (1)
lnyi=+lnxi+i (2)
方法一:对模型(1)得到的取对数,然后求其与方程(2)的lnyi之间的R2,此R2与(2)的判定系数有可比性。
(1)转换后的R2=<对数模型的R2=
方法二:对模型(2)得到的取反对数,然后求其与方程(1)的yi之间的R2,此与(1)的判定系数有可比性。
(2)转换后的R2=>线性模型的R2
两种方法比较结果相同:对数线性模型的拟合程度高于线性模型。
半对数模型-测度增长率
假如要求GDP的增长率,有如下公式:
yt=y0(1+r)t ——指数函数
其中,yt:时间t的实际GDP; y0:实际GDP的初始值;r:y的复合增长率。
两边取对数:lnyt=lny0+tln(1+r)
令1=lny0 ,2=ln(1+r),并增加干扰项
方程变为: lnyt =1+2t+i——半对数模型
模型特点:
2:测度了GDP的恒定相对增长率。