文档介绍：第九章湍流边界层中的传热
在层流边界层的处理中,只要粘性耗散项可以忽略不计,则能量方程就有着与动量方程相同的数学形式。这时,能量方程的解可直接引用动量方程的解。
在湍流边界层的处理中,我们已经有了动量方程的解。仿层流边界层中能量方程的解法,我们似乎也可以走直接引用湍流动量方程的解的解决途径。
与湍流动量方程一样,湍流能量方程中也有着类似的“封闭”问题。我们可以提出一种模型,以解决湍流能量方程存在着的“封闭”问题的过程中;我们也可以直接引用湍流动量方程解决封闭问题的结论,考察湍流能量方程的类似结论与湍流动量结论之间的关系。本章中的雷诺比拟就属于后一种处理方法。
§
§-能量方程的比较
在定常、恒定自由流、全部流体物性处理成常数、忽略体积力和粘性耗散项可以忽略的情况下,湍流动量方程可以表为,
湍流能量方程可以表为,
以上表示湍流边界层中的动量方程和能量方程在数学表述上具有类似的形式。
§ 雷诺比拟
在求解湍流动量方程“封闭”问题时,引入了普朗克混合长度理论,以计算,
和

混合长度定义式如下,
并且有,
在求解湍流能量方程的“封闭”问题时,我们也可以引入一种计算的理论。
鉴于动量方程和能量方程在数学表述上具有相似性,我们还可以探索与之间是否存在着一种简单的关系,如果能够找到两者之间所存在的关系,就可以直接引用动量方程求解的结论。
①因方向上脉动速度的存在而引起的有效剪切应力和有效热通量的计算:
动量:
对于湍流情况,应当是:
鉴于脉动速度的随机性,必须考虑其有效值:
通过平行于主流方向的某面积为的方向上脉动动量传递率的有效值为:
其中:
对,则引用普朗特混合长度理论:
于是,面积上的剪切应力为:
热量:
通过平行于主流方向的面积为的由脉动引发的有效热通量为:
对,如果也引用普朗特混合长度理论,则有:
于是,单位面积上的有效热通量为:
对比:将动量和能量的表述整理成扩散率形式,

于是有:
上式表明,关于动量和热量的两种湍流扩散率相等,这就是雷诺比拟。
§——湍流能量方程的解
§
仿照对湍流动量方程,
作如下改动,
其中:
对湍流能量方程,
也作相应的改动,
其中:
在壁面附近区域,存在有,
可忽略项,故而有:
引用 Couette 流动近似:
于是上式在壁面附近区域就可以改写为,

从壁面上沿高度积分上式,
整理得,

引入无量纲定义,

代入上式,

将湍流边界层关于动量和关于热量的壁面定律做如下比较,
有量纲的
动量壁面定律:
热量壁面定律:
热量壁面定律与动量壁面定律相比,缺少项,其他方面则完全相似。
无量纲的
动量壁面定律:
热量壁面定律:
热量壁面定律与动量壁面定律相比,缺少项,其他方面则完全相似。
一个重要结论:在壁面附近,热量传递和动量传递之间关于相似的全部概念,当有压力梯度时就失灵了,也就是说,这时的雷诺比拟关系就不复存在。
§
时,有,
积分上式,
积分结果为,

引用作为变量:
代入上式,
仍然采用具有粘性底层和充分湍流区的两层模型。对于与的情形,实验发现底层的有效厚度。对于热边界层,实验发现底层的有效厚度变为。这个实验事实说明:雷诺比拟对粘性底层不是有效的。但是我们还是将积分分成相应于粘性底层和充分湍流区两个部分,来完成上式的积分。
于是,上述积分为,
我们将上式与的积分式相比较,
必须十分注意,关于能量的积分过程,不可引用关于动量的积分过程中所采用的忽略某一项的方法。这是因为因特定流体的不同而有很大变化:
粘性底层:在动量边界层中,由于有,故积分可以写为:
在热边界层中,如果很大,则底层中即使很小,仍然具有很大意义。如果,若忽略,则会带来重要的误差。时,可忽略。
充分湍流区:在动量边界层中,由于有,故积分可以写为:
在热边界层中,如果很低,则数值很大,且能大于,因此,这时不能忽视。
问题:如何评判和的相对大小?
假定雷诺比拟适用,则由混合长度理论,有,
???
粘性底层中的发现1:时,可以忽略,但不适合于更低数。
充分湍流区中的发现2:
将上述发现代入:,得到,
积分得,
上述精确解与实验数据的对比参见P247中的图12-2。
§、定壁温条件下的湍流传热解
传热解的关键就是要建立的表达式。
两个假定:
热边界层和动量边界层的厚度相同——可直接引用动量边界层的一些结论
层流边界层若干厚度的表达:
边界层厚度:
排量厚度:
动量厚度:
热边