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(导函数的简称)的定义：设X。是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量X在X。处有增量 x，则函数值y也引起相应的增量 y f (x0 x) f(x0)；比值丄止__x) f(xo)称为函数y 仁刈在点％。到X。 x之间的平均变化率；如果极限
x X
lim - lim f(X0 X)_f (Xo)存在，则称函数y f (x)在点x。处可导，并把这个极限叫做
x 0 x x 0 x
y f (x)在 x0处的导数，记作 f (x0)或 y |x Xq，即 f (x。)= lim y lim f-(X° X)_.
X 。 x x 。 x
注：① X是增量，我们也称为改变量”，因为X可正，可负，但不为零.
②以知函数y f(x)定义域为A， y f '(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.

⑴函数y 可以证明，如果事实上，令x
f (X)在点Xo处连续与点Xo处可导的关系：
Xo处连续是y f (x)在点Xo处可导的必要不充分条件 y f (x)点x0处连续.
o.
f (x)在点
y
xo
f(x)在点Xo处可导，那么 X，则X Xo相当于
是 lim f (x)
X X。
lim
X 。
f(x。
x) lim [ f(x
X 。
X。)
f(x。) f(x。)]
叫
⑵如果y
f(X。
X) f(x。)
X f(x)点Xo处连续,
f(x。)]
那么y
例:
f(x)
|x|在点Xo 。处连续,
f(Xo X) f(Xo)
lim lim f(Xo)
x x o x o
f(x)在点Xo处可导，是不成立的.
y ，当
X X
0。
f(X。)o f(x。) f(x。).
但在点Xo 。处不可导，因为
X ＞。时,
—1 ；当 X V。时，一
X X
1，故lim ~不存在.
X 。 X
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数
：
函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线 y f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，
也就是说，曲线y f(x)在点P (xo, f(x))处的切线的斜率是f'(x。),切线方程为
y yo f (x)(x xo).
:
(u v)
u v y fi(x) f2(X) ... fn(x) y fl (x) f2(X) ... fp (x)
(uv)'
1 1 1 1 1 1
vu v u (cv) c v cv cv ( c 为常数)
1
u
1 1
vu v u
2 (v 0)
v
v
注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、
积、商不一定不可导.
例如：设 f (x) 2sinx ， g(x) cosx ，贝U f (x), g(x)在x 0处均不可导，但它们和
x x