文档介绍：高等数学
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（1）曲线在点（工,少处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；
（2）曲线上点P（x,y）处的法线与工轴的交点为Q,且线段PQ被了轴平分.
解（1）设曲线方程为尸火工）,它在点（工,少处的切线斜率为：/，依条件，有
= jc2,
此为曲线方程所满足的微分方程.
（2）设曲线方程为y=y（x）.因它在点P（x,y）处的切线斜率为：/,故该点
处法线斜率为一
由条件知PQ之中点位于j轴上，故点Q的坐标是（一工,0）,于是有
.y — 0 __ 1
x—（—jt） ~y *
即微分方程为 ”'+2工=0.
例1求微分方程
粉2心 ’⑺
的通解.
解方程（7）是可分离变量的，分离变最后得
--2xdr, y
两端积分 = J 2rdx,
得 ln|_y| =工’ + G，
从而 y = ± ex ' r' = ± ec' eJ .
因士 e。，是任意非零常数，又 '三0也是方程（7）的解；故得方程（7）的通解
例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含地M成正庄=.知£=0时铀的含量为M。，求在衰变过程中铀含量MQ）随时间t变化的规律.
解铀的衰变速度就是M（£）对时间£ 含量成正比，故得微分方程
其中A (A>0)是常数，叫做衰变系数，;l前曾负号是由于当］增加时M单调减
少，即警VO的缘故. ’’
按题意，初始条件为
M|,.o = Mo.
方程(8)
dM_ ,. 有=-他.
两端积分 = j(-A)dz,
以In C表示任意常数，考虑到M>0,得
in M = - Ar + In C,
即 M=Ce、
这就是方程(8)，得
Mn = Ce° = C,
痛以 M = Moef,
,铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减 07-1).
图7-1
：
(1) xyf—y—y/y2—j^=0f (2) i ^=_yln 卫；
dr x
(3) (x24~.y2)dLr—xydj>=0； (4) (x3+j>3)cLr—3a,3>2d3>=0{
(2zsin《 + 3_ycos《)dr—3jccos《dy=O；
(l+2e£ )dr+2ef (1—子)dy=O.
解(1)当Z>0时，可将原方程写成:/= W+j(于Vi，令“=《，即了=工“,有y=«+xU\则原方程成为“+]/=“+sAT,分离变量，得
du _ dr
. zz.— ,
积分得
In | M 4- J上—11 = In x+ In Ci,
即〃+J i? —i =Cr(C=±G )•
将“=卫代入上式并整理,得通解
X
y + yy —jc2 = Cr2.
原方程可表示成空=,ln《,令"=《，即有矩=“+工务则
原方程成为u+x ^=“ln “，分离变量，得
血 =dr
以(In 以—1) x 9
积分得 ln| In a—11 =ln| x| +ln G ,
即 ln“一l = ±Ciz.
将代入上式，得
X
In 卫=±Gh + 1.
x
故通解为 ln^=Gr+l.
原方程可表示为(子+《)&一心==《，即尸工以,有d广 udz+xdu,则原方程成为
(j + u)dr — (udx+ xdw) = 0*
即 udu=^9
“2
积分得 * = ln|«r|+G・
将〃=《代入上式并整理,得通解
yz = ]2(2ln|«r | + C).
原方程可写成-j" (§+《)dx —dy = " =《，即、=工心有心= udr+xdu，则原方程成为§(§+") &—("&+工血)=0.
分离变髭，得了综du=+dr,
积分得一*4n| 1 — 2必 | =ln|工|+ln G，
即 1一2护=土由.
将“=于代人上式并整理,得通解
x3 _ 2/3 = Ct.
原方程可写成专tan卫+工一乎=“ = 即了=75有平=“+
«j JC JC CLX* JC OJ7
I鼠则原方程成为音tan “+“一 (“+•! ,)=，得 3 du dLr =—, 2 tan u x
积分得
-|-ln| sinw| = ln|x| + lnC), 即 sin3u= ±Ci jr2.
将代入上式,得通解sin3《=8.
(6)原方程可写