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2012全国高中数学联赛挑战极限--------[平面几何试题]

1. 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，
C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．
P
A
B
C
D
Q

2、如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．
⑴ 求证：；
⑵ 在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，求证：，，，四点共圆．
2
，第二个圆切于，外切于，第三个圆切于，外切于，外切于，交于，求证是的外心。
（35届IMO预选题）
4. 如图，给定凸四边形，，是平面上的动点，
令．
（Ⅰ）求证：当达到最小值时，四点共圆；
图1
（Ⅱ）设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值．
3
5. 在直角三角形ABC中，，△ABC 的内切圆O分别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：．
6. 给定锐角三角形PBC，．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：；
（2）若，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．
．
4
7. 如图，已知△ABC内切圆I分别与边AB、BC相于点F、D，直线AD、CF分别交圆I于另一点H、K.
求证：I
K
H
F
D
C
B
A
.

,⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、, 求证：AK平分BC.

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参考答案
：连结AB，在△ADQ与△ABC中，∠ADQ=∠ABC，∠DAQ=∠PBC=∠CAB
　故△ADQ∽△ABC，而有，即BC·AD＝AB·DQ 10分
　　又由切割线关系知△PCA∽△PAD得　；
　　同理由△PCB∽△PBD得　 20分
　　又因PA＝PB，故，得　AC·BD＝BC·AD＝AB·DQ 30分
　　又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知　AC·BD＋BC·AD＝AB·CD
　　于是得：AB·CD＝2AB·DQ，故DQ＝CD，即CQ＝DQ 40分
　　在△CBQ与△ABD中，，∠BCQ＝∠BAD，于是△CBQ∽△ABD，
　　故∠CBQ＝∠ABD，即得∠DBQ＝∠ABC∠PAC．
2.[解析]： ⑴ 连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．
因此，．
连，，则与交于，因为
，所以．同理．
于是，．
故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）．
又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式
7
于是．
⑵因为，
所以，同理．由得．
由⑴所证，，故．
又因，有．
故，从而．
因此，，，四点共圆．
：由∥，知，从而有，即三点共线。同理由∥，可得三点共线。又因为，所以四点共圆，，即点在与的根轴上。又因为在与的根轴上，所以是与的根轴。同理是与的根轴，因此为根心，且有，即是的外心。
4.[解法一] （Ⅰ）如图1，由托勒密不等式，对平面上的
任意点，有
．
因此
．
因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，
7
因此当且仅当在的外接圆且在上时，
． …10分
又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号．因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值．
故当达最小值时，四点共圆． …20分
（Ⅱ）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以
，
整理得，　　　　…30分
解得或（舍去），故，．
由已知=,有，
即，整理得
，
故，可得，………40分
从而，，为等腰直角三角形．因，则．
又也是等腰直角三角形，故，，．
故． …5