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第六章线性空间
：。
证任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪一种情形，都有此即。但所以。
，。
证则在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，则在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故
于是。
若。
在前一情形X，。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

.
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平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
；
集合与加法同6），数量乘法定义为：
；
全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
，；
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
。
2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}
因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）
所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
，A+B仍是反对称矩阵。
，所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，-b）。对于数乘：

即。
.
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＝，
＝
＝
＝
＝，
即，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为。
7）否，因为，
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
所以，所给集合构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1） 2）。
证 1）。
2）因为。
.
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5 证明：在实函数空间中，1，式线性相关的。
证因为，所以1，式线性相关的。
6 如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证若有不全为零的数使，
不妨设则，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以线性无关。
7 在中，求向量在基下的坐标。设
1）；
2）。
解 1）设有线性关系，则，
可得在基下的坐标为。
2）设有线性关系，则，
可得在基下的坐标为。
.
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8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间P；2）P中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=。
解 1)的基是且。
2) i)令，即其余元素均为零,则是对称矩阵所成线性空间的一组基,所以是维的。
ii)令，即其余元素均为零,则是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是维的。
iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数,可经2线性表出，即.,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
4)因为,,所以，
于是，而。
中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设
.
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，，
在下的坐标；
，，
在下的坐标；
，，
在下的坐标；
解（）=（）=（）A
这里A即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，
得（）=（），
于是
（）=（），
所以在基下的坐标为
，
.
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这里=。
令则
（）=()=()A，
（）=()=()B，
将()=（）代入上式,得
（）=（）B，
这里
=,B=，
且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有
=()=（）
.
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=（），
所以在下的坐标为。
同，同理可得
A=B=
=
则所