文档介绍：函数定义域、值域和映射讲义
函数定义域
.函数的定义域就是使函数式的集合常见的三种题型确定定义域：
. (1)已知函数的解析式，就是
如：① y fix),则； ②丫 2n，; f (x)(n N*),则
g(x)
③ y [f(x)]0,贝 1; ④ y log f(x)g(x),贝 1
⑤y tanx ,则；⑥f(x)是整式时，定义域是全体实数
域是
(2)复合函数f [g( x)]的有关定义域，就要保证内函数 g(x)的外函数f ( x)的域.
(3)实际应用问题的定义域，就是要使得集合.
有意义的自变量的取值
例1。求下列函数的定义域
2 |x|
例2 (1)若f(x)的定义域为[—1,1],求函数f(x 1)的定义域
(2)若f(x 1)的定义域是[—1, 1],求函数f(x)的定义域
若函数f(x)的定义域是[0, 1],则f(x+a) - f(x -a) (0<a< 1 )的定义域是(
A.
B.
[a, 1-a]
C.
-—a , 1+a]
D.
等腰梯形ABCD勺两底分别为AD 2a,BC a, BAD 45°,作直线MN AD交
AD于M ,交折线ABCDF N，记AM x,试将梯形ABCg于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域。
例3如图，等腰梯形ABCM接于一个半径为r的圆，且下底AD= 2r,如图, 记腰AB长为x,梯形周长为y,试用x表示y并求出函数的定义域
、求下列函数的定义域
(1)y _L_
1 1
x
3x x2
y 2x2 1 x 1 0
(5)函数 y=/x2 vx2 1 (6) y =
函数值域
a、函数值域基本知识
.定义：在函数y f(x)中，与自变量X的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)
.确定函数的值域的原则
①当函数y f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；
②当函数y f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数 y的集合;
③当函数y f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数y f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：
.一次函数y kx b k 0的值域为R.
.二次函数y ax2 bxe a 0)当a 0时的值域为
4ac b2
4a
,当a 0时的值域为
4ac b2
4a
.反比例函数y k k 0的值域为y Ry 0 . x
题型一\ —次函数f(x) ax2 bx c(a 0)的值域(最值)
1、二次函数
时，其值域为
2 ,
f (x) ax bx
4ac b2
4a
4ac b2
4a
c(a 0))
a 0
a 0
当其定义域为R
2、二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)在区间m,n上的值域
(最值)
首先判定其对称轴x ［与区间m,n的位置
2a
关系
(1)若2 m,n，则当a 0时，”当是函数的
2a 2a
最小值，最大值为 f(m),f(n)中较大者；当 a。时)f(当是函数
7 2a
的最大值，最大值为 f(m), f(n) 中较小者。
(2)若琛m,n，只需比较 f (m), f (n) 的大小即可
2a
决定函数的最大(小)值。
特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；
②若给定的区间形式是a, , ,b,a, , ,b
等时，要结合图像来确函数的值域；
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间
特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1 ：已知f x2 2X的定义域为3,，则f x的定义域为。
例2：已知f X 1 x2 1）且x 3,4）则f x的值域为。
题型三：一次分式函数的值域
1、反比例函数y々k 0）的定义域为xx 0）值域 x ，
为 y|y 0
2、形如：y宗的值域：
（1）若定义域为x Rx b时，其值域为 a
c c
y Ry a
（2）若x m,n时，我们把原函数变形为x…, ay c
然后利用x m,n （即x的有界性），便可求出函数的值域。
例4：当x 3, 1时）函数y二的值 7 2x