文档介绍：第五章二次型
，并利用矩阵验算所得结果。
1)
-4x^2 + + 2x2x3 ；
2) xf + 2xrx2 + 2%2 + 4x2x3 + 4%3;
3)
4)
5)
xf -3%2 一2尤1尤2 +2工1玛-6x2x3 ；
8尤1尤4 + 2x3x4 + 2x2x3 + 8x2x4 ；
x{x2 + xxx3 + xrx4 + x2x3 + x2x4 + x3x4;
xf + 2%2 + + 4尤1尤2 + 4尤1尤3 + 2xrx4 + 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4 ；
+ 2xxx2 + 2x2x3 + 2x3x4 o
解1)已知/(尤1，尤2，尤3)= -4尤1尤2 +2尤1尤3 +2尤2尤3，
先作非退化线性替换
尤1 = ■ + -2
＜尤2二儿一为 (1)
工3 =
则
/(x1,x2,x3) = -4y^ +4y； +4力力
=一4y《+4y；y3 — y； + y： +4y；
=-（2ji - y-i ）3 + y} + 4y；,
再作非退化线性替换
' 1 1
山=尸+如
＜光=集（2）
，3 =」3
则原二次型的标准形为
f（xl,x2,x3） = -Zi +4Z2 +z；,
最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为
1 1
Xl =—<1 + <2 + —<3
(3)
1 1
'X2 =-<l +-<3
》3 =上
于是相应的替换矩阵为
(1 八 1、
ri n 1)
— u —
‘1 1 0、
—0 -
2 2
2 2
1 1
1 -1 0
0 1 0
--1 -
2 2
、0 0 b
0 0 1
0 0 1
1 7
7
且有
1 0 0、
T'AT =
0 4 0
<0 ° J
2)已知 f(X],X2，X3) =对 + 2抻2 + ； + 4x2x3 + 4x；,
山配方法可得
+ x；)+ (x； + + 4x[)
=(%] + x2)- + (x2 + 2x, )2,
于是可令
由+心
< y2 = x2 + 2x3 ,
则原二次型的标准形为
/(%!，%2,%3)= +y；,
且非退化线性替换为
相应的替换矩阵为
<1
-1
2、
—
0
1
-2
0
叫=M -光+ 2^3
< 工2 =光—2^3 ，
小=y3
0
0、
(1
1
0、
(1
-1
2、
<1
0
0>
-1
1
0
1
2
2
0
1
-2
—
0
1
0
2
-2
、0
2
0
1 )
0
0>
/
T'AT =
且有
(3)已知 f(X],M) = x； -； - + , - ,
由配方法可得
+ +x；)
/(.¥],.r2,.r,) = (x； - + 2xxx3 - +x； +x；)-(4x；
=（X] _ x, _ X3 ）一 _（2x, + 心）~, 于是可令
= X1 _ X2 + X3
< y2 = 2x2 +x3 ,
73 =上
则原二次型的标准形为
f（x],.n，x3）= k - y；，
且非退化线性替换为
1 3
Xl = M +尸2 -尸3
1 1
<了2=^光—，
X3 =
相应的替换矩阵为
、
3-21-2
- -
1-21-20
1 o O
-
且有
、
c
1
j_
3）
0 ( 1 -1 1 )
1
2
2
1
(1 0 0、
0 -1 -3 -3
0
1
1
= 0-10
2
~2
」1 -3 0?
0
0
1
〔0 0 0,
7
7
7
0 J_ 2 j_ ~2
f
1
j_
2
_3
J 2
T'AT =
(4)已知 X3,X4) = SXpY, + 2x3X4 + 2x2 X3 +8了2》4,
先作非退化线性替换
a = Ji + y4
-n = y2
< ,
上=y3
小=y4
则
f(xI,x2,x3,x4) = 8yIy4 +8y^ + 2y3y4 + 2y2y3 + 8y2y4
=8 y： +2心1 + 捉 +»3)+ 俱 +〉2