文档介绍：生活中的优化问题举例
生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省,利润最大,效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.
不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.
复习:如何用导数来求函数的最值?
一般地,若函数y=f (x)在[a,b]上的图象是一条
连续不断的曲线,则求f (x) 的最值的步骤是:
(1)求y=f (x)在[a,b]内的极值(极大值与极小值);
(2)将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较,
其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点,
则这个极值一定是最值。
规格(L)
2
价格(元)
问题情景一:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们
的价格如下表所示,则
(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?
(2)对制造商而言,哪一种的利润更大?
1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造
,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出
售1ml的饮料,,且制造商能制造的瓶子的
最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?
r
(0,2)
2
(2,6]
f '(r)
0
f (r)
-
+
减函数↘
增函数↗
-
解:∵每个瓶的容积为:
∴每瓶饮料的利润:
解:设每瓶饮料的利润为y,则
r
(0,2)
2
(2,6]
f '(r)
0
f (r)
-
+
减函数↘
增函数↗
∵f (r)在(2,6]上只有一个极值点
∴由上表可知,f (2)=-
-
1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造
,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出
售1ml的饮料,,且制造商能制造的瓶子的
最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?
解:设每瓶饮料的利润为y,则
∵当r∈(0,2)时,
而f (6)=,故f (6)是最大值
答:当瓶子半径为6cm时,每瓶饮料的利润最大,
当瓶子半径为2cm时,每瓶饮料的利润最小.
1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造
,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出
售1ml的饮料,,且制造商能制造的瓶子的
最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢?
解决优化问题的方法之一:
通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学
模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,
,导数往往是一个有
力的工具,其基本思路如以下流程图所示
优化问题
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
问题情景二:汽油使用效率何时最高
我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v
(单位:km/h) 之间有一定的关系,汽车的消耗量 w 是汽车
速度 v 的函数. 根据实际生活,思考下面两个问题:
(1)是不是汽车的速度越快, 汽油的消耗量越大?
(2)当汽车的行驶路程一定时,是车速快省油还是
车速慢的时候省油呢?
一般地,每千米路程的汽油消耗量越少,我们就说
汽油的使用效率越高(即越省油)。
若用G来表示每千米平均的汽油消耗量,则
这里的w是汽油消耗量,s是汽车行驶的路程
如何计算每千米路
程的汽油消耗量?
2、通过研究,人们发现汽车在行驶过程中,汽油的
平均消耗率 g(即每小时的汽油消耗量, 单位: L / h)
与汽车行驶的平均速度v(单位: km)之间,有如图的
函数关系 g = f (v) ,那么如何根据这个图象中的数据来
解决汽油的使用效率最高的问题呢?
v(km/h)
g (L/h)
O
120
90
30
50
5
10
15
分析:每千米平均的汽油消耗量,这里 w是汽油
消耗量,s是汽车行驶的路程
∵w=gt,s=vt
P(v,g)
的几何意
义是什么?
如图所示, 表示经过原点
与曲线上的点 P(v,g)的直线
的斜率k
所以由右图可知,当直线OP
为曲线的切线时,即斜率k取
最小值时,汽油使用效率最高