文档介绍：向量空间
判断题
平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法 ：kJ =：• ,k •二R,作成实数域R上
的向量空间• ( )•
平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法 :k : = 0, k R, 作成实数域R上
的向量空间• ( )•
一个过原点的平面上所有向量的集合是 V3的子空间• ( )•
所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间 Mn(R)的子空间• ( )•
n
｛( X-X2,…，Xn)「Xi =1,x「R｝为 Rn 的子空间• ( )•
i ＜
所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间 m n (R)的子空间• ( )•
⑺｛( X-0,…，0, Xn) |X!, Xn • R｝为 Rn 的子空间• ( )•
若＞2,〉3,是数域F上的4维向量空间V的一组基，那么：• 1 , ：• 2, ：• 2亠'：：3,〉3亠总4
是V的一组基• ().
n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成 V的一个基• ( )•
(10)设2,…，：■ n是向量空间V中n个向量
且V中每一个向量都可由
u,
()•
线性表示,则r,—,…，亠是V的一组基•
设：、，＞2,…，亠是向量空间V的一个基,如果'-1, '-2/' , \与〉1,〉2「，〉n等价,则
'-I, '-2/' ,1 也是 V 的一个基• ( )•
X3 关于基 X3, x3 +x, x2 +1, x +1 的坐标为(1,1, 0, 0) • ( )•
设yM，…,Vs为n维空间V 的子空间，且V ，V2亠•亠Vs •若
dim y • dim V2川…卷dim Vs二n ,贝UV 、2川"-川七$为直和• ( )•
(14)设V-V2,…,Vs为n维空间V
的子空间
且 V =V「V2 Vs
V V2=0,(V「V2)V3 =0，…，(y V2 •… Vs4)Vs=0,则 VJV2 •… Vs 为直和•
(13)三维向量空间的基 亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),则向量1 = (2, 0, 0)
().
设'SV为n维空间v 的子空间,且v ・v2亠•亠vs •若
Vi (' Vj) ={0}, 则Vt +V2 + …+Vs 为直和• ( )•
j半
设Vt,V2,…，Vs为n维空间V 的子空间,且V =Vt V2 -Vs •若
Vi (Vj) ={0}, i =j,则 Vt V2 ……-Vs 为直和• ( )•
设y,V2,…，Vs为n维空间V的子空间，且V =Vt・V2 -
的，则Vt・v2亠-亠Vs为直和• ( )•
设：「，宀,…，：^是向量空间V的一个基，f是V到W的一个同构映射，则W的一个
基是 f (\), f (〉2),…，f Gn) • ( )•
设V是数域F上的n维向量空间，若向量空间V与W同构，那么W也是数域F上
的n维向量空间• ( )•
把同构的子空间算作一类，n维向量空间的子空间能分成 n类• ().
答案 ⑴错误(2)错误(3)正确 ⑷错误 (5错误 (6正确 ⑺正确(8)正确(9)
正确(10)错误(11)正确(12)错误(13)正确(14)正确(15)正确(16)错误(17)正确
(18)正确 (1 9正确 (2 0错误
(13)三维向量空间的基 亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),则向量1 = (2, 0, 0)
二填空题
⑴全体实对称矩阵，对矩阵的 作成实数域R上的向量空间
全体正实数的集合R ,对加法和纯量乘法
a^：：b=ab,k，a=ak,构成R上的向量空间
(13)三维向量空间的基 亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),则向量1 = (2, 0, 0)
(13)三维向量空间的基 亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),则向量1 = (2, 0, 0)
则此空间的零向量为
全体正实数的集合R :对加法和纯量乘法
a b = ab , k ' a = a^,构成R上的向量空间
(13)三维向量空间的基 亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),则向量1 = (2, 0, 0)
(13)三维向量空间的基 亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),则向量1 = (2, 0, 0)
则a E R 4的负向量为
全体实二元数组对于如下定义的运算
(a , b ) (c ,d =) a c ,b d a © ,
k(k — 1 ) 2
k (a ,b )= ka kb a ),
2
构成实数域R上的向量空间•则此空间的零向量为_
全体实二元数组对于如下