文档介绍：第六章线性空间
：。
证任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪一种情形，都有此即。但所以。
，。
证那么在后一情形，于是所以，由此得。反之，假设，那么在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故
于是。
假设。
在前一情形X，。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
次数等于n〔n1〕的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f〔A〕的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
全体实对称〔反对称，上三角〕矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
；
集合与加法同6〕，数量乘法定义为：
；
全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
，；
解 1〕否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
。
2〕令V={f〔A〕|f〔x〕为实数多项式，A是n×n实矩阵}
因为
f〔x〕+g〔x〕=h〔x〕，kf〔x〕=d〔x〕
所以
f〔A〕+g〔A〕=h〔A〕，kf〔A〕=d〔A〕
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3〕矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵〔上三角矩阵，反对称矩阵〕对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
，A+B仍是反对称矩阵。
，所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4〕否。例如以向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5〕不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，〔0，0〕是零元，任意〔a，b〕的负元是〔-a，-b〕。对于数乘：

即。
＝，
＝
＝
＝
＝，
即，所以，所给集合构成线性空间。
6〕否，因为。
7〕否，因为，
所给集合不满足线性空间的定义。
8〕显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
所以，所给集合构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1〕 2〕。
证 1〕。
2〕因为。
5 证明：在实函数空间中，1，式线性相关的。
证因为，所以1，式线性相关的。
6 如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证假设有不全为零的数使，
不妨设那么，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以线性无关。
7 在中，求向量在基下的坐标。设
1〕；
2〕。
解 1〕设有线性关系，那么，
可得在基下的坐标为。
2〕设有线性关系，那么，
可得在基下的坐标为。
8求以下线性空间的维数于一组基：1〕数域P上的空间P；2〕P中全体对称〔反对称，上三角〕矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=。
解 1)的基是且。
2) i)令，即其余元素均为零,那么是对称矩阵所成线性空间的一组基,所以是维的。
ii)令，即其余元素均为零,那么是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是维的。
iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数,可经2线性表出，即.,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
4)因为,,所以，
于是，而。
,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设
，，
在下的坐标；
，，
在下的坐标；
，，
在下的坐标；
解〔〕=〔〕=〔〕A
这里A即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，
得〔〕=〔〕，
于是
〔〕=〔〕，
所以在基下的坐标为
，
这里=。
令那么
〔〕=()=()A，
〔〕=()=()B，
将()=〔〕代入上式,得
〔〕=〔〕B，
这里
=,B=，
且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有
=()=〔〕
=〔〕，
所以在下的坐标为。
同，同理可得
A=B=
=
那么所求由到的过渡矩阵为
B=。
再令+b+c+d，即
，
由上式可解得在下的坐标为下的坐标为
。
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