文档介绍：第二讲-函数的极限典型例题
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第二讲函数的极限
内容提要
0,使得x:0 x xo )有
0,使得x:0 x xo )有

lim f(x) A 0, x Xo
f(x) A .
右极限
lim f (x) A 0,
X xo
f(x) A
0,
0, 使得 x：0 x0 x
左极限
lim f (x) A
x x0
f(x) A .
注1同数列极限一样，函数极限中的同样具
有双重性.
注2 的存在性(以x x0为例)：在数列的“ N”
定义中，我们曾经提到过，N的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的 N
无关紧要；对也是如此，只要对给定的 0,能找到某一个，能使0 x x0时，有|f(x) A即可. 注3讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究f(x)是否无限趋近于
注 4 lim f(x) A lim f (x) lim f(x) A . x x0 X X0 x X0
lim f (x) A
X xo
{4}
n
{xn} | xn
x0,且xn
x(o
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nim f(xn) a,称为归结原则海涅( Heine)定，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题.(会叙述，证明，特别充分性的证明.)
注 6 lim f(x) A o 0, 0 , x:0 x xo ，有
x xo 7 7 ' T
f (x) A 0 .
2函数在无穷处的极限
设f(x)在［a,)上有定义，则
lim f(x) A 0, X a,使得 x: x X)有 |f(x) A .
lim f(x) A 0, X a, 使得 x:x X) 有 |f(x) A .
Jim f (x) A 0, X a,使得 x: x X,有 f(x) A .
1 lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A . x x x
,有 nimf(xn) A.
n
xim f(x) A {xn} {xn} | xn
3 函数的有界
设f(x)在［a,)上有定义)若存在一常数M 0)使得 x ［a,))有f (x) M
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)则称f(x)在［a,)上有界.
4 无穷大量
lim f(x) G Q 0,使得 x:0 x 4 ，有 f (x) G . x xo 7 1r
lim f(x) G 0, X 0,使得 x：|x X)有|f(x) G .
类似地,可定乂 lim f (x) lim f(x) lim f (x)
x x xo x x xo x x xo '
lim f (x) 寺. x xo
注若 limf(x))且 O和 C O)使得 x:O |x xo| ,
x xo 7 / 7
有|f (x) C O 则 lim f (x)g(x) .
' x xo
特别的,若 lim f(x) ,lim g(x) A o)则
x x xo x x xo 7
lim f(x)g(x) . x x
5 无穷小量
若limf(x) O,则称f(x)当x xo时为无穷量.
x xo z
注1可将x xo改为其它逼近过程.
注 2 lim f(x) A f(x) A (x)其中 lim (x) O ,由于有 x xo x x > x xo
这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代.
注3 lim f (x) o 9凶在xo的某空心邻域内有界则 x xo ' 7
lim f (x)g(x) O . X xo
注4 xim f(x) O,且当|x足够大时,g(x)有界,则
lim f (x)g(x) 0 .
x xo
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注5在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量.
6函数极限的性质
以下以x
xo为例，其他极限过程类似.
!imf(x)
x xo
lim f(x)
' / x Xo
f(x) M .
lim f(x)
x xo
则极限A唯一.
则,M。,使得x：0
x xo
x xo
A,
,有
叫 g(x) B)且 A B)则 o,
f(x) g(x)
使得
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在理
(4) lim f(x) A,
x xo
lim g