文档介绍：李稳定法在非线性系统中的应用
------克拉索夫斯基方法
非线性系统的李雅普诺夫 稳定性分析
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。
对非线性系统则不然。
非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的情况远比线性系统来得复杂。
与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得多。
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难的。
对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。
而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
􀂉定理5-4
设系统的状态方程为
其中xe=0为其平衡态。
􀂾若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:
1)若V’(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;
2)更进一步，若随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:
针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的Lyapunov函数。如,
通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩阵法)
针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)
针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的所讨论的平衡态移至原点。
对上面提到到的3种非线性系统稳定性分析方法：
克拉索夫斯基法
变量梯度法
阿依捷尔曼法
现在只关注克拉索夫斯基法
克拉索夫斯基法
设非线性定常连续系统的状态方程为
对该系统有如下假设:
1)所讨论的平衡态xe=0;
2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
雅克比的形式如下：
定理 :非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充分条件为
为负定的矩阵函数,且
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围渐近稳定的。
证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
则其导数为
由于 为系统的一个李雅普诺夫函数,即 正定。
因此,若 负定,则 必为负定。
所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0。
是渐进稳定的。