文档介绍：2013年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2013年3月17日 9:30-11:30 满分150分
题号
一
二
三
总分
1~5
6~10
11
12
13
14
得分
评卷人
复查人
答题时注意:
;
;
.
一、选择题(共5个小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
、、满足,则的值为( )
(A) - ( B) 0 (C) (D) 1
解:由已知得,
故,于是,

、、是实常数,关于的一元二次方程有两个非零实根,则下列关于的一元二次方程中,以,为两个实根的是( )
(A) ( B)
(C) (D)
解:由于是关于的一元二次方程,
,,且,所以,且,.于是根据方程根与系数的关系,以,即. 选B.
3、如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥AB,垂足为D,DE⊥OC, 垂足为E,若AD,DB,CD的长度都是有理数,则线段OD、OE、DE,AC的长度中,不一定是有理数的为( )
(A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC
解:因为,,的长度都是有理数,所以,
是有理数,于是,是有理数.
由∽,知,都是有理数,而不一定是有理数. 选D.
4、如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC上,且BC=4AF,DCFE是平行四边形,则图阴影部分(△BDE+△ADE)的面积为( ).
(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8
解:因为是平行四边形,所以,,因为,即,所以,因此原来阴影部分面积等于的面积. 连接,因为,即,
,所以. 故阴影部分的面积为6. 选C.
,y,z,定义运算“*”为:,且
,则2013*2012*……*3*2的值为( )
(A) ( B) (C) (D)
解:设2013*2012*…*4=,则
,于是
.选C.
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
,是的小数部分,则的值为_____.
解:由,得,知,故,因此.
,点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点,直线BD与CE交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别是3,4,5则四边形AEFD的面积是____________.
解:连结,则有:
,
.
解得,.
、、满足,,则的最大值为___________.
解:由已知,消去,并整理得
,由为正整数及≤66,可得1≤≤3.
若=1,则,无正整数解;
若=2,则,无正整数解;
若=3,则,可解得=11,=5.
(1)当=11时,则=61,从而得=;
(2)当=5时,则=13,从而得=.
综上知的最大值为2013.
,,,满足:一元二次方程的两根为,,一元二次方程的两根为,,则所有满足条件的数组(,,,)为___________.
解:由韦达定理得
由上式可知.
若,则,从而.
若,则,有;(为任意实数).经检验,数