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全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
2021年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
一、填空题〔每题5分，共20分〕
1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设是函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且
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均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得
四、〔此题17分〕设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值与最小值.
五、〔此题16分〕是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半局部〔〕〔取上侧〕，是在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示的正法向的方向余弦. 计算：
〔1〕；〔2〕
六、〔此题12分〕设是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义，证明：绝对收敛.
七、〔此题15分〕是否存在区间上的连续可微函数，满足，，
请说明理由.
2021年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
一、〔本大题共5小题，每题6分，共30分〕解答以下各题〔要求写出重要步骤〕.
〔1〕求极限.
〔2〕求通过直线的两个互相垂直的平面与，使其中一个平面过点.
〔3〕函数，且. 确定常数与，使函数满足方程
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.
〔4〕设函数连续可微，，且在右半平面与路径无关，求.
〔5〕求极限.
二、〔此题10分〕计算.
三、〔此题10分〕求方程的近似解，.
四、〔此题12分〕设函数二阶可导，且，，，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.
五、〔此题12分〕求最小实数，使得满足的连续函数都有.
六、〔此题12分〕设为连续函数，. 区域是由抛物面与球面
所围起来的局部. 定义三重积分，
求的导数.
七、〔此题14分〕设与为正项级数，证明：
〔1〕假设，那么级数收敛；
〔2〕假设，且级数发散，那么级数发散.
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2021年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
一、解答以下各题〔每题6分，共24分，要求写出重要步骤〕
不是绝对收敛的.
由确定，求的极值.
上的点作切线，使该切线与曲线与轴所围成的平面图形的面积为，求点的坐标.
二、〔总分值12分〕计算定积分.
三、〔总分值12分〕设在处存在二阶导数，：级数收敛.
四、〔总分值12分〕设，证明.
五、〔总分值14分〕设是一个光滑封闭曲面，，使积分的值最小，并求该最小值.
六、〔总分值14分〕设，其中为常数，曲线为椭圆，.
七、〔总分值14分〕判断级数的敛散性，假设收敛，求其与.
2021年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
一、填空题〔共有5小题，每题6分，共30分〕
，那么该方程是 .
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. 那么与平行的的切平面方程是 .
.
，那么 .
5.，那么 .
二、〔此题12分〕设为正整数，计算.
三、〔此题14分〕设函数在上有二阶导数，且有正常数使得，. 证明：对任意，有.
四、〔此题14分〕〔1〕设一球缺高为，所在球半径为. 证明该球缺体积为，球冠面积为；〔2〕设球体被平面所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分
五、〔此题15分〕设在上非负连续，严格单增，且存在，.
六、〔此题15分〕设，求.
2021 年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
一、填空题〔每题6分，共5小题，总分值30分〕
〔1〕极限 .
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〔2〕设函数由方程所决定，其中具有连续偏导数，且那么 .
〔3〕曲面在点的切平面与曲面所围区域的体积是 .
〔4〕函数在的傅立叶级数在收敛的是 .
〔5〕设区间上的函数定义域为，那么的初等函数表达式是 .
二、〔12分〕设是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.
三、〔12分〕设在内二次可导，且存在常数，使得对于，有，那么在内无穷次可导.
四、〔14分〕求幂级数的收敛域与其与函数.
五、〔16分〕设函数在上连续，且. 试证：
〔1〕使；
〔2〕使.
五、〔16分〕设在上有连续的二阶偏导数，且. 假设
，证明：.
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2021年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
填空题〔每题5分，总分值30分〕
假设在点可导，且，那么__________.
假设，存在，求极限.
3、设有连续导数