文档介绍：第二节
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
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对坐标的曲线积分
第十一章
精选课件
一
在其左边。
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二、对坐标的曲线积分的计算法
证明: 下面先证
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
存在, 且有
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对应参数
设分点
根据定义
由于
对应参数
因为L 为光滑弧 ,
同理可证
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证毕
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特别是, 如果 L 的方程为
则
对空间光滑曲线弧 :
类似有
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对应起点与终点
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例1. 计算
其中L 为沿抛物线
解法1 取 x 为参数, 则
解法2 取 y 为参数, 则
从点
的一段.
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例2. 计算
其中 L 为
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向;
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
(2) 取 L 的方程为
则
则
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例2表明沿不同路径得出的值并不相同，尽管两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同。
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例3. 计算
其中L为
(1) 抛物线
(2) 抛物线
(3) 有向折线
解: (1) 原式
(2) 原式
(3) 原式
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例3表明，沿不同路径的曲线积分的值可以相等，只与起点和终点有关（在一定条件下），
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例4. 设在力场
作用下, 质点由
沿移动到
解: (1)
(2)  的参数方程为
试求力场对质点所作的功.
其中为
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例5. 求
其中
从 z 正向相反。
解: 取  的参数方程
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三、两类曲线积分之间的联系
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Δs
→
ds
dx
dy
x
y
o
在引例: 变力沿曲线所作的功的定义中，还可定义为：
变力沿直线AB
所作的功
w
W=
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已知L切向量的方向余弦为：
也可从计算的角度得到上述结论。
即两类曲线积分有如下联系：
设有向光滑弧 L 以弧长为参数的参数方程为
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同样，对弧长的曲线积分：
对坐标的曲线积分：
可见两个曲线积分是相等的
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差别：
对坐标的曲线积分，与积分路径有关，其
上下限由起点和终点确定。
对弧长的曲线积分与积分路径无关，化为
定积分，上限大于下限。
联系：
对两类曲线积分：
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类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
令
记 A 在 t 上的投影为
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二者夹角为 
例6. 设
曲线段 L 的长度为s, 证明
续,
证:
设
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
在L上连
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例7.
将积分
化为对弧长的积
分,
解：
其中L 沿上半圆周
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1. 定义
2. 性质
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) L－表示 L 的反向弧
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
内容小结
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3. 计算
• 对有向光滑弧
• 对有向光滑弧
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（一：选定参数，二：用曲线方程代，三：计算定积分）
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4. 两类曲线积分的联系
• 对空间有向光滑弧 :
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1. 已知
为折