文档介绍：一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算
§ 对坐标的曲线积分
三、两类曲线积分之间的联系
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功
质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B求变力F(x y)所作的功
P(ii)xiQ(ii)yi ,
[ ]
提示
把L分成n个小弧段 L1 L2 Ln
求功的过程
变力在Li上所作的功的近似值为
变力在L上所作的功的近似值为
变力在L上所作的功的精确值为
其中是各小弧段长度的最大值
F在Li上所作的功WiF(ii)si
>>>光滑曲线
对坐标的曲线积分
设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界
把L分成n个有向小弧段L1 L2 Ln其中Li是从(xi1 yi1)到(xi yi)的小弧段记xixixi1yiyiyi1
在小弧段Li上任取一点(i)
令为各小弧段长度的最大值
如果极限总存在则称此极限为函数P(x y)
在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分记作
如果极限总存在则称此极限为函数Q(x y)
在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分记作
对坐标的曲线积分
在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
说明
对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分
对坐标的曲线积分
说明
设为空间内一条光滑有向曲线弧函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义我们定义
对坐标的曲线积分的简写形式
在应用上经常出现的是
上式可记为
其中F(x y)P(x y)iQ(x y)j drdxidyj
类似地有
其中AP(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k drdxidyjdzk
对坐标的曲线积分的性质
性质1 设、为常数则
性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2
性质3 设L是有向光滑曲线弧 L是L的反向曲线弧则
则
提示
二、对坐标的曲线积分的计算
质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为
另一方面在L上任取一小段有向弧其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素
F[(t)(t)]dr
dr(dx dy)((t)dt(t)dt)
dW
设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和
>>>图形
F[(t)(t)](P[(t)(t)] Q[(t)(t)])
二、对坐标的曲线积分的计算
质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为
另一方面在L上任取一小段有向弧其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素
F[(t)(t)]dr
P[(t)(t)](t)dtQ[(t)(t)](t)dt
dW
于是
设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和
二、对坐标的曲线积分的计算
质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为
设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和
这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算