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泛函分析知识总结与举例、应用
学设 X是度量空间，E和M是X的两个子集，令表示M的闭包，如果E⊂，则称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。
注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。
①n维欧式空间是可分空间：坐标为有理数的全体是的可数稠密子集。
②离散度量空间X可分X是可数集。
（因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身）
③是不可分空间。
数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。
3. 连续映射
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：设X=（X，d） Y=（Y，）是两个度量空间，T是X到Y中的映射єX，如果对ε>0，δ>0 ，使对X中一切满足d（x，）<δ的x，有，则称T在连续。
（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间
时，映射就是度量空间上的函数。）
注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。下面用邻域描述：对T的ε-邻域U，存在的某个δ—邻域V，使TVU，其中TV表示V在映射T作用下的像。
定理1：设T是度量空间（X，d）到度量空间（Y，）中映射，
T在连续⇔当时，必有。
在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。
原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射，称集合{x∣x∈X，Tx⊂M⊂Y}为集合M在映射T下的原像，简记为。
★可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。
：度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射⇔Y中任意开集M的原像是X中的开集（除此之外，利用（M的补集）=（）的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。）注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。
在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。
4. 柯西（）点列和完备的度量空间。
：设X=（X，d）是度量空间，{}是X中的点列，对ε>0，正整数N=N（ε），使当ｎ，ｍ>N时，必有ｄ（，）<ε，则称{}是X中的柯西（Cauchy）点列或基本点列。【会判断：柯西点列是有界点列】
我们知道实数集的完备性，同时在学****数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这由实
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数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。但在度量空间中的确存在完备的度量空间。
：如果度量空间（X，d）中每一个柯西点列都在（X，d）中收敛，那么称（X，d）是完备的度量空间．
★但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。
（记住结论）
，但n维欧式空间是完备的度量空间。
在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列：C、C[a,b]、也是完备的度量空间。
完备度量空间X的子空间M，是完备空间M是X中的闭子空间。
P［ａ，ｂ］（表示闭区间［ａ，ｂ］上实系数多项式全体，作为C［ａ，ｂ］的子空间）是不完备的度量空间．
5. 度量空间的完备化。
：设（X，d），是两个度量空间，T是从X到上的映射，即对x,y,(Tx,Ty)=d(x,y),则称T是等距映射。
：设（X，d），是两个度量空间，如果存在一个从X到上的等距映射T，则称（X，d）和等距同构，此时T称为X到上的等距同构映射。（像的距离等于原像的距离）
注：在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。
（度量空间的完备化定理）：设X=（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间，使X与的某个稠密子空间W等距同构，并且在等距同构下是唯一的,即若（，）也是一个