文档介绍：抽象函数练习题
第一组
1、若函数f(2x + l)的定义域为贝U函数f(log2》)的定义域为•
2、若/(〃 + l) = f(n) + l, neN\ 且/'(1) = 2,贝0 /(100)=.
3、定义 R 上的函数(x)是奇函数；
⑶若当_r e(-l, 0)时，有f (x)>0,求证：/'(X)在(-1,1)上是减函数;
※⑷写出一个满足已知条件的函数(此问不用写理由).
18、定义在R上的函数f(x)对任意实数aM都有f(a + b) + f(a-b) = 2f(ayf(b)成立，且 f(0)湘.
求/'(0)的值；
⑵试判断f(x)的奇偶性；
⑶若存在常数c>0使/f|Lo,试问f(x)是否为周期函数，请说明理由.
#(/?) +》(□).
19、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且VaMeR, f(ab) =
⑴求f(o), /■⑴的值；
⑵判断/(x)的奇偶性，并证明你的结论；
若f(2)= 2,试求的值.
20、已知定义在R上的函数f(x)满足：
值域为(一1,1)，且当x>0时，-l<f(x)<0；
对于定义域内任意的实数x, y,均满足/(m + ")= /(〃+/(”)
试求f(0)的值;
⑵判断并证明函数/(X)的奇偶性；
判断并证明函数f(x)的单调性.
21、 f(x)的定义域关于原点对称，且满足
对/(x)定义域。内的任意两个数叫、x2 (x^x2), f(XL2)=/y3)+ l；
②/'(a) = -l,且当 0<x<a 时，/(x)<0.
⑴证明：f(x)是奇函数；
⑵ 求函数/(X)在(0,4a)上的单调性.
成立.
22、函数y(x)的定义域为R ,且/(X)、n ,总有
求/'(0)的值；
求证，(?)^o ；
※⑶若/⑴=%,求所有满足条件的/(X).
23、已知函数/(x)的定义域为［0,+时，值域为［0,+8)的子集，且满足下列条件:
对任意的 x, ye［0,+8)都有呀(y)］・f(y) = f(x+y)；
/(2)= 0;
当 0Wx<2 时/'(x)?。.
求证:当-N2 时,/(x) = 0；
求f (x)的解析式.
24、已知函数/*("的定义域为［0,1］，且同时满足：
对任意券［0, 1］,总有2；
仙=3;
若X］ NO, x2 NO且尤1 +尤2 W1，则有f (尤1 +尤2)日f 31) + f (尤2)-2.
求r(O)的值;
求/(%)的最大值；
※⑶设数列｛%｝的前〃项和为S,,且满足S„=-|(a„-3), «eN*.
3 i
求证：f (%) +/*(。2)+••• + '(%) +2〃一^y^Y ・
25、对于定义域为[0,1]的函数/(.!■)'如果同时满足以下三条：
对任意的xe[0, 1],总有' f(x)N0；
f⑴=1；
若.％ N 0 ,约 N 0 , .r, + x2 5= 1,都有' f(X] + Aj) N /(%[) + f (,r2)成立.
则称函数/'(x)为理想函数.
(1)若函数f(x)为理想函数，求/'(0)的值；
⑵判断函数g(x) = 2“-1 (xe[0,l])是否为理想函数，并予以证明；
⑶若函数f(x)为理想函数，假定3x0 e [0,1],使得f (xo)e[O, 1],且/(/(x0)) = x0 ,求证:
/■(%) = %•
26、已知函数g(x)在R上有定义，满足：
\/x, yeR, /■(x-y) = y(x)g(y)-g(x)f (y)；
/⑴圭o.
⑴求证：f(x)为奇函数；
⑵若/⑴=/(2),求g(i) + g(-i)的值.
【答案】(2) g(_l) + g⑴=1.
抽象函数练习题参考答案
第一组
1、若函数/(2x + l)的定义域为"1，£|，则函数/(logzx)的定义域为■
【答案】2
_2 _
2、若 f (〃 + l) = f (〃) + 1, n g N*,且 f(l) = 2,则f (100)=・
【答案】102
3、定义 R 上的函数 f(Q)= /(x) + /(y),且 /'(9) = 8,则/(^3)=.
【答案】V2
4、定义在区间(一1,1)上的减函数f(x)满足：f(-x) = -f(x).若/(13)+ /(1-尸)<0恒成立,贝［J 实数a的取值范围是.
【答案】(0,7^)
5、已知函数f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，对正实数x, y,都有：/(^) = /(x) + /(j) 不等式f (log2 x)