文档介绍：高中数学复数教学案例
?复数代数形式的乘除运算?
案例分析
尉氏县第三高级中学
姚翠玲
一、案例背景
1、教材分析
本节课是?复数代数形式的四那么运算?的第二课时，是四那么运算的重点，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．
设计意图⑷
了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．
例1计算：
(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．
思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法那么计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．
解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；
解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)
＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；
解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.
点评：此题主要是稳固复数乘法法那么及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.
提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？
活动设计：学生独立思考，然后交流．
学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．
活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．
注意：z的共轭复数常用表示．即：假设z＝a＋bi，那么＝a－bi.
设计意图⑸
例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．
提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法那么的引入过程，探求复数除法的法那么．
活动设计：引导学生运用乘法法那么以及复数相等的概念来得到除法法那么．
活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi，叫做复数a＋bi除以c＋di的商．
(2)经计算可得(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi.
根据复数相等的定义，有cx－dy＝a，dx＋cy＝b.
由此得x＝，y＝.
于是得到复数除法的法那么是：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i.
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．
提出问题1：假设z1，z2是共轭复数，那么
(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
(2)z1·z2是一个怎样的数？
(3)假设z1是实数，那么它的共轭复数是怎样的数？
活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．
学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论．
活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；
(2)z1·z2＝|z1|2＝|z2|2；(即z·＝|z|2＝||2)
(3)z1的共轭复数仍是z1，即实数的共轭复数是它本身．
设计意图⑹
使学生加深对共轭复数概念的了解．
提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的方法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？
活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．
学情预测：学生在教师的指导下，根本上能发现规律．
活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简整理后即可．
(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式〞，从而使分母“有理化〞．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式〞(共轭复数)，从而使分母“实数化〞．
设计意图⑺
简化求解过程，有利于熟练运用法那么．
例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．
思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i，计算整理即可．
解：(1＋2i)÷(3－4i)＝＝
＝＝＝－＋i.
点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程．
稳固练****br/>计算：(1)；(2)(＋i)(－＋i)；(3).
解：(