【精选】第七章---微分方程(三峡大学高等数学教案).doc

文档介绍：第七章---微分方程(三峡大学高等数学教案)
高等数学教案 微分方程
三峡大s=0, . 简记为s|t=0=0, s¢|t=0=20. (5)
把(4)式两端积分一次, 得
; (6)
再积分一次, 得
s=- +C1t +C2, (7)
这里C1, C2都是任意常数.
把条件v|t=0=20代入(6)得
20=C1;
把条件s|t=0=0代入(7)得0=C2.
把C1, C2的值代入(6)及(7)式得
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v=- +20, (8)
s=-+20t. (9)
在(8)式中令v=0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
(s).
再把t=50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程
s=-´502+20´50=500(m).
几个概念:
微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程.
常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.
偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
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, 叫微分方程的阶.
x3 y¢¢¢+x2 y¢¢-4xy¢=3x2 ,
y(4) -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,
y(n) +1=0,
一般n阶微分方程:
F(x, y, y¢, × × × , y(n) )=0.
y(n)=f(x, y, y¢, × × × , y(n-1) ) .
微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果在区间I上,
F[x, j(x), j¢(x), × × ×, j(n) (x)]=0,
那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y¢, × × ×, y(n) )=0在区间I上的解.
通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.
初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件,
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称为初始条件. 如
x=x0 时, y=y0 , y¢= y¢0 .
一般写成
, .
特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.
如求微分方程y¢=f(x, y)满足初始条件的解的问题, 记为
.
积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.
例3 验证: 函数 x=C1cos kt+C2 sin kt是微分方程 的解.
解 求所给函数的导数:
,
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