第七章---微分方程(三峡大学高等数学教案).doc

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高等数学教案微分方程
三峡大学高等数学课程建设组
高等数学教案微分方程
三峡大学高等数学课程建设组
,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
(或方程组)解决一些简单的应用问题。
教学重点:
可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
可降阶的高阶微分方程,和
二阶常系数齐次线性微分方程;
自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;
教学难点:
齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程;
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线性微分方程解的性质及解的结构定理;
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
§
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映,,,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.
例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
解设所求曲线的方程为y=y(x).根据导数的几何意义,可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程
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)
.(1)
此外,未知函数y=y(x)还应满足下列条件:
x=1时,y=2,简记为y|x=1=2.(2)
把(1)式两端积分,得(称为微分方程的通解)
,即y=x2+C,(3)
其中C是任意常数.
把条件“x=1时,y=2”代入(3)式,得
2=12+C,
由此定出C==1代入(3)式,得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=1=2的解):
y=x2+1.
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
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,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式
.(4)
此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:
t=0时,s=0,.简记为s|t=0=0,s¢|t=0=20.(5)
把(4)式两端积分一次,得
;(6)
再积分一次,得
s=-+C1t+C2,(7)
这里C1,C2都是任意常数.
把条件v|t=0=20代入(6)得
20=C1;
把条件s|t=0=0代入(7)得0=C2.
把C1,C2的值代入(6)及(7)式得
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v=-+20,(8)
s=-+20t.(9)
在(8)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
(s).
再把t=50代入(9),得到列车在制动阶段行驶的路程
s=-´502+20´50=500(m).
几个概念:
微分方程:表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程.
常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.
偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.
微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
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,叫微分方程的阶.
x3y¢¢¢+x2y¢¢-4xy¢=3x2,
y(4)-4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,
y(n)+1=0,
一般n阶微分方程:
F(x,y,y¢,×××,y(n))=0.
y(n)=f(x,y,y¢,×××,y(n-1)).
微分方程的解:满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式),设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,
F[x,j(x),j¢(x),×××,j(n)(x)]=0,
那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x,y,y¢,×××,y(n))=0在区间I上的解.
通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.
初始条件:用于确定通解中任意常数的条件,
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x=x0时,y=y0,y¢=y¢0.
一般写成
,.
特解:确定了通解中的任意常数以后,.
初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.
如求微分方程y¢=f(x,y)满足初始条件的解的问题,记为
.
积分曲线:微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线.
例3验证:函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的解.
解求所给函数的导数:
,
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