第七章微分方程三峡大学高等数学教案.pdf

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第七章微分方程
教学目的:
、阶、通解,初始条件和特等概念。
。
、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。
:y(n)f(x),yf(x,y)和yf(y,y)
。
,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分
方程。
、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性
微分方程的特解和通解。
,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
(或方程组)解决一些简单的应用问题。
教学重点:
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程y(n)f(x),yf(x,y)和yf(y,y)
3、二阶常系数齐次线性微分方程;
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微
分方程;
教学难点:
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程;
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理;
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微
分方程的特解。
§71微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律:.
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性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往
不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及
其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知
函数来这就是解微分方程
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方
程
解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式
(称为微分方程)
dy
2x(1)
dx
此外未知函数yy(x)还应满足下列条件
x1时y2简记为y|2(2)
x1
把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)
y2xdx即yx2C(3)
其中C是任意常数
把条件“x1时y2”代入(3)式得
212C
由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|2的解)
x1
yx21
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度
04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数
ss(t)应满足关系式
d2s
(4)
dt2
此外未知函数ss(t)还应满足下列条件
ds
t0时s0v20简记为s|=0s|=20(5)
dtt0t0
把(4)式两端积分一次得
ds
vC(6)
dt1:.
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再积分一次得
s02t2CtC(7)
12
这里CC都是任意常数
12
把条件v|20代入(6)得
t0
20C
1
把条件s|0代入(7)得0C
t02
把CC的值代入(6)及(7)式得
12
v04t20(8)
s02t220t(9)
在(8)式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
20
t50(s)

再把t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程
s025022050500(m)
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程
常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶
x3yx2y4xy3x2
y(4)4y10y12y5ysin2x
y(n)10
一般n阶微分方程
F(xyyy(n))0
y(n)f(xyyy(n1))
微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微
分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上
F[x(x)(x)(n)(x)]0
那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解
通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样
的解叫做微分方程的通解:.
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初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如
xx时yyyy
000
一般写成
yyyy
xx0xx0
00
特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解
初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程yf(xy)满足初始条件yy的解的问题记为
xx0
0
yf(x,y)

yy
xx0
0
积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线
d2x
例3验证函数xCcosktCsinkt是微分方程k2x0的解
12dt2
解求所给函数的导数
dx
kCsinktkCcoskt
dt12
d2x
k2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt)
dt21212
d2x
将及x的表达式代入所给方程得
dt2
k2(CcosktCsinkt)k2(CcosktCsinkt)0
1212
d2x
这表明函数xCcosktCsinkt满足方程k2x0因此所给函数是所给方程的解
12dt2
d2x
例4已知函数xCcosktCsinkt(k0)是微分方程k2x0的通解求满足初始条件
12dt2
x|Ax|0
t0t0
的特解
解由条件x|A及xCcosktCsinkt得
t012
CA
1
再由条件x|0及x(t)kCsinktkCcoskt得
t012
C0
2
把C、C的值代入xCcosktCsinkt中得
1212:.
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xAcoskt
作业:P298:4
§72可分离变量的微分方程
观察与分析
1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得
yx2C
一般地方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)
2求微分方程y2xy2的通解
因为y是未知的所以积分2xy2dx无法进行方程两边直
接积分不能求出通解
1
为求通解可将方程变为dy2xdx两边积分得
y2
11
x2C或y
yx2C
1
可以验证函数y是原方程的通解
x2C
一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成
g(y)dyf(x)dx
形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G(y)F(x)C
由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
P(xy)dxQ(xy)dy0:.
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在这种方程中变量x与y是对称的
若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y)0时有
dyP(x,y)

dxQ(x,y)
若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y)0时有
dxQ(x,y)

dyP(x,y)
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))
的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原
方程就称为可分离变量的微分方程
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
xy
(6)y不是
yx
可分离变量的微分方程的解法
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
第二步两端积分g(y)dyf(x)dx设积分后得G(y)F(x)C
第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)
G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
dy
例1求微分方程2xy的通解
dx
解此方程为可分离变量方程分离变量后得
1
dy2xdx
y
两边积分得:.
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1
dy2xdx
y
即ln|y|x2C
1
从而yex2CeCex2
11
因为eC仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解
1
yCex2
例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M求在
0
衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律
dM
解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数
dt
dM
由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程M
dt
dM
其中(>0)是常数前的曲面号表示当t增加时M单调减少即0
dt
由题意初始条件为M|M
t00
将方程分离变量得
dM
dt
M
dM
两边积分得()dt
M
即lnMtlnC也即MCet
由初始条件得MCe0C
0
所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MMet
0
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速
度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运
动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为
dv
mmgkv
dt
初始条件为
v|0
t0
方程分离变量得:.
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dvdt

mgkvm
dvdt
两边积分得
mgkvm
1t
ln(mgkv)C
km1
mgkekC
t1
即vCem(C)
kk
mg
将初始条件v|0代入通解得C
t0k
mgk
t
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v(1em)
k
dy
例4求微分方程1xy2xy2的通解
dx
解方程可化为
dy
(1x)(1y2)
dx
分离变量得
1
dy(1x)dx
1y2
两边积分得
11
dy(1x)dx即arctanyx2xC
1y22
1
于是原方程的通解为ytan(x2xC)
2
作业:P304:1(1)(2)(3)(7)(9)(10),2(2)(4),3
§73齐次方程
齐次方程
dy
如果一阶微分方程f(x,y)中的函数f(x,y)可写成
dx
yy
的函数即f(x,y)()则称这方程为齐次方程
xx
下列方程哪些是齐次方程?:.
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dyyy2x2dyyy
(1)xyyy2x20是齐次方程()21
dxxdxxx
dy1y2
(2)1x2y1y2不是齐次方程
dx1x2
dyx2y2dyxy
(3)(x2y2)dxxydy0是齐次方程
dxxydxyx
dy2xy4
(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程
dxxy1
yyy
(5)(2xsh3ych)dx3xchdy0是齐次方程
xxx
yy
2xsh3ych
dyxxdy2yy
th
dxydx3xx
3xch
x
齐次方程的解法
dyyy
在齐次方程()中令u即yux有
dxxx
du
ux(u)
dx
分离变量得
dudx

(u)ux
两端积分得
dudx

(u)ux
y
求出积分后再用代替u便得所给齐次方程的通解
x
dydy
例1解方程y2x2xy
dxdx
解原方程可写成
y
()2
dyy2x

dxxyx2y
1
x:.
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y
因此原方程是齐次方程令u则
x
dydu
yuxux
dxdx
于是原方程变为
duu2
ux
dxu1
duu
即x
dxu1
分离变量得
1dx
(1)du
ux
两边积分得uln|u|Cln|x|
或写成ln|xu|uC
y
以代上式中的u便得所给方程的通解
x
y
ln|y|C
x
例2有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与
旋转轴平行求这旋转曲面的方程
解设此凹镜是由xOy面上曲线Lyy(x)(y>0)绕x轴旋转而成光源在原点在L上任取一点
M(x,y)作L的切线交x轴于A点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线由光学及几
何原理可以证明OAOM
y
因为OAAPOPPMcotOPx
y
而OMx2y2
y
于是得微分方程xx2y2
y
dxxx
整理得()21这是齐次方程
dyyy
dxxx
问题归结为解齐次方程()21
dyyy:.
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xdv
令v即xyv得vyvv21
ydy
dv
即yv21
dy
dvdy
分离变量得
v21y
yy
两边积分得ln(vv21)lnylnC,vv21,(v)2v21,
CC
y22yv
1
C2C
C
以yvx代入上式得y22C(x)
2
这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为
C
y2z22C(x)
2
这就是所求的旋转曲面方程
例3设一条河的两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O
设鸭子的游速为b(b>a)且鸭子游动方向始终朝着点O已知OAh求鸭子游过的迹线的方程
解取O为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点P(x,y)
则鸭子运动速度
dxdydxv
v(v,v)(,)故有x
xydtdtdyv
y
xybxby
另一方面vab(a,0)b(,)v(a,)
x2y2x2y2x2y2x2y2
dxvaxxdxaxx
因此x()21即()21
dyvbyydybyy
y
dxaxx
问题归结为解齐次方程()21
dybyy
x
令u即xyu得
y:.
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dua
yu21
dyb
dua
分离变量得dy
u21by
b
两边积分得arshu(lnylnC)
a
x1aa
11
将u代入上式并整理得x[(Cy)b(Cy)b]
y2C
1
以x|0代入上式得C故鸭子游过的轨迹方程为
yhh
hyaya
11
x[()b()b]0yh
2hh
xb
将u代入arshu(lnylnC)后的整理过程
ya
xb
arsh(lnylnC)
ya
xbx1bb

shln(Cy)a[(Cy)a(Cy)a]
yy2
ybbbb
111
x[(Cy)a(Cy)a]x[(Cy)a(Cy)a]
22C
作业:P309:1(1)(3)(5),2
§
一、线性方程
线性方程
dy
方程P(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程
dx
如果Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程
dydy
方程P(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程
dxdx
下列方程各是什么类型方程?:.
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dydy1
(1)(x2)yy0是齐次线性方程
dxdxx2
(2)3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程
(3)yycosxesinx是非齐次线性方程
dy
(4)10xy不是线性方程
dx
dydyx3dx(y1)2
(5)(y1)2x300或不是线性方程
dxdx(y1)2dyx3
齐次线性方程的解法
dy
齐次线性方程P(x)y0是变量可分离方程分离变量后得
dx
dy
P(x)dx
y
两边积分得
ln|y|P(x)dxC
1
P(x)dxC
或yCe(Ce1)
这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数)
dy
例1求方程(x2)y的通解
dx
解这是齐次线性方程分离变量得
dydx

yx2
两边积分得
ln|y|ln|x2|lnC
方程的通解为
yC(x2)
非齐次线性方程的解法
将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把
yu(x)eP(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得:.
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P(x)dxP(x)dxP(x)dx
u(x)eu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)
u(x)Q(x)eP(x)dx
化简得
u(x)Q(x)eP(x)dxdxC

于是非齐次线性方程的通解为
yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC]

yCeP(x)dxeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx
或
非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和
dy2y5
例2求方程(x1)2的通解
dxx1
解这是一个非齐次线性方程
dy2y
先求对应的齐次线性方程0的通解
dxx1
分离变量得
dy2dx

yx1
两边积分得
lny2ln(x1)lnC
齐次线性方程的通解为
yC(x1)2
用常数变易法把C换成u即令yu(x1)2代入所给非齐次线性方程得
25
u(x1)22u(x1)u(x1)2(x1)2
x1
1
u(x1)2
两边积分得
23
u(x1)2C
3
再把上式代入yu(x1)2中即得所求方程的通解为
23
y(x1)2[(x1)2C]
3:.
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例3有一个电路如图所示其中电源电动势为EEsint(E、都是常数)电阻R和电感L
mm
都是常量求电流i(t)
di
解由电学知道当电流变化时L上有感应电动势L由回路电压定律得出
dt
di
ELiR0
dt
diRE
即i
dtLL
把EEsint代入上式得
m
diRE
imsint
dtLL
初始条件为
i|0
t0
diRE
方程imsint为非齐次线性方程其中
dtLL
RE
P(t)Q(t)msint
LL
由通解公式得
RER
P(t)dtP(t)dtdtmdt
i(t)e[Q(t)edtC]eL(sinteLdtC)
L
ERR
mtt
eL(sinteLdtC)
L
ER
mt
(RsintLcost)CeL
R22L2
其中C为任意常数
LE
将初始条件i|0代入通解得Cm
t0R22L2
因此所求函数i(t)为
LERE
t
i(t)meLm(RsintLcost)
R22L2R22L2
二、伯努利方程
伯努利方程方程
dy
P(x)yQ(x)yn(n01)
dx
叫做伯努利方程:.
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下列方程是什么类型方程?
dy11
(1)y(12x)y4是伯努利方程
dx33
dydy
(2)yxy5yxy5是伯努利方程
dxdx
xy1
(3)yyyxy1是伯努利方程
yxx
dy
(4)2xy4x是线性方程不是伯努利方程
dx
伯努利方程的解法以yn除方程的两边得
dy
ynP(x)y1nQ(x)
dx
令zy1n得线性方程
dz
(1n)P(x)z(1n)Q(x)
dx
dyy
例4求方程a(lnx)y2的通解
dxx
解以y2除方程的两端得
dy1
y2y1alnx
dxx
d(y1)1
即y1alnx
dxx
令zy1则上述方程成为
dz1
zalnx
dxx
这是一个线性方程它的通解为
a
zx[C(lnx)2]
2
以y1代z得所求方程的通解为
a
yx[C(lnx)2]1
2
经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程
dy1
例5解方程
dxxy
解若把所给方程变形为:.
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dx
xy
dy
即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程
令xyu则原方程化为
du1duu1
1即
dxudxu
分离变量得
u
dudx
u1
两端积分得
uln|u1|xln|C|
以uxy代入上式得
yln|xy1|ln|C|或xCeyy1
作业:P315:1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)(5),7(1)(2)
§75可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f(x)型的微分方程
解法积分n次
y(n1)f(x)dxC
1
y(n2)[f(x)dxC]dxC
12

例1求微分方程ye2xcosx的通解
解对所给方程接连积分三次得
1
ye2xsinxC
21
1
ye2xcosxCxC
412
11
ye2xsinxCx2CxC
82123:.
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这就是所给方程的通解
1
或ye2xsinx2C
21
1
ye2xcosx2CxC
412
1
ye2xsinxCx2CxC
8123
这就是所给方程的通解
例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动设力F仅是时间t的函数FF(t)在
开始时刻t0时F(0)F随着时间t的增大此力F均匀地减小直到tT时F(T)0如果开始
0
时质点位于原点且初速度为零求这质点的运动规律
解设xx(t)表示在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为
d2x
mF(t)
dt2
由题设力F(t)随t增大而均匀地减小且t0时F(0)F所以F(t)Fkt又当tT时F(T)0
00
从而
t
F(t)F(1)
0T
于是质点运动的微分方程又写为
d2xFt
0(1)
dt2mT
dx
其初始条件为x|0|0
t0dtt0
把微分方程两边积分得
dxFt2
0(t)C
dtm2T1
再积分一次得
F1t3
x0(t2)CtC
m26T12
dx
由初始条件x|0|0
t0dtt0
得CC0