第3章 微分中值定理与导数的应用 第一节.ppt

文档介绍：第三章微分中值定理与导数的应用
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)
中值定理,费马定理是它的预备定理,罗尔定理
是它的特例,柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
费马(Fermat,1601-1665),法国人,与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。
第一节微分中值定理
几何解释:
证明:
几何解释:
2. 罗尔(Rolle)定理
x
O
y
C
x
a
b
y=f(x)
A
B
如果连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么,在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)),曲线在 C点的切线平行于 x 轴。
如果函数yf(x)满足条件:(1)在闭区间[a, b]上连续,(2)在开区间(a, b)内可导,(3) f(a)f(b),则至少存在一点x(a, b),使得f (x)  0。
证
由费马引理,
注意:
如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论就可能不成立。
f(x)不满足条件(1)
B
x
O
y
A
a
b
f(x)不满足条件(3)
x
O
y
A
B
a
b
f(x)不满足条件(2)
x
O
y
A
B
a
b
c
例1
验证
例2 不求导数,判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点,以及其所在范围。
解 f(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在[1, 2],[2, 3]上满足罗尔定理的三个条件。
在(1, 2) 内至少存在一点 x1,使 f (x1)=0,x1是 f (x)的一个零点。
在(2, 3)内至少存在一点 x2,使f (x2)=0,x2也是f (x)的一个零点。
f (x) 是二次多项式,只能有两个零点,分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。
可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。