第3章 微分中值定理与导数的应用 第五节.ppt

文档介绍：第三章
微分中值定理与导数的应用
一、函数的极值及其求法
第五节函数的极值与最大值最小值
定义
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
注:极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.
定理1(必要条件)
由费马引理可知,
导数等于零的点称为驻点.
对可导函数来讲,极值点必为驻点,
但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件.
另一方面, 不可导点也可能是极值点,
x
y
O
x
y
O
这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.
我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值嫌疑点.
下面给出两个充分条件,用来判别这些嫌疑点是否为极值点.
定理2(极值存在的第一充分条件)
一阶导数变号法
例1
解
列表讨论
极大值
极小值
图形如下
例2
解
定理3(极值存在的第二充分条件)
称为“二阶导数非零法”
(1)记忆:几何直观;
说明:
(2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点;