文档介绍：微分中值定理与导数的应用
第一节微分中值定理
教学内容和重点:
掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理,
了解柯西中值定理
掌握定理的条件、结论及几何意义;
4、会用定理讨论方程的根或证明不等式等问题
一、罗尔定理
罗尔定理:设函数同时满足以下三条:
①、在上连续;
②、在内可导;
③、
则至少存在一个图形启发:最值点处导数为0。
2、简证:
①、
②、
费马引理:最值点
3、用处:
则罗尔定理可讨论方程根的存在性
(讨论方程根的存在性有两个:零点定理、罗尔定理)
区别:
4、例题分析
例1 不求的导数,讨论的根的情况;
①、在上连续;
②、在内可导;
③、。
例2 设,且试证明:至少存在一点,使得. 步骤:造函数,选区间
例3 设是满足的实数,试证:
方程在内至少有一实根。
二、拉格朗日中值定理(解除罗尔定理中这个苛刻条件)
1、拉格朗日中值定理:
①、在上连续;
②、在内可导;
则,至少存在一个
2、几何解释:在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的切线平行于弦AB。3、简证:用罗尔定理,造函数,验证端点值相同。
4、几点应注意的问题:
①、罗尔定理是拉格朗日定理的特例;
②、
③、又称有限增量定理,微分中值定理,精确表达:
④、推论:若函数在内任意一点导数均为0,则(常数)
⑤、拉格朗日定理的用途——可用来证明不等式。
原理:
“通过的放缩,使等式变为不等式”
函数值的差与导数值关系时,用拉格朗日定理证明。
5、例题分析
例1:试证: .
Ex: p132 4 7 8