文档介绍：导数在实际生活中的应用
宿迁青华中学徐守高
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小),然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,
那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
3、求最大(最小)值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系,把实际问题化为数学问题,建立函数关系式,这是关键一步。
(2)确定函数定义域,并求出极值点。
(3)比较各极值与定义域端点函数的大小, 结合实际,确定最值或最值点。
2、实际应用问题的表现形式,常常不是以纯数学模式反映出来。
首先,通过审题,认识问题的背景,抽象出问题的实质。
其次,建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
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(面积和体积等的最值)
(利润方面最值)
(功和功率等最值)
60
60
解:设箱底边长为x cm,
箱子容积为V=x2 h
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
则箱高
x
x
V ´=60x-3x²/2
令V ´=0,得x=40, x=0
(舍去)
得V (40)=16000
答:当箱底边长为x=40时,箱子容积最大,最大值为16000cm3
在实际问题中,如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可
以知道函数在这点有极大(小)值,那么不与端点
比较, f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
11年应用题是全卷的焦点
请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。
练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
R
h
解设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
又V=πR2h(定值),
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
2008-17如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,=20km,BC=,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设(rad),将表示成的函数;
(ii)设(km),将表示成的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。
【解析】本小题主要考查函数最值的应用.
B
C
D
A
O
P