文档介绍：导数在解决实际问题中的应用
《普通高中数学课程标准(实验)》指出:,选修课程是在完成必修课程学习的基础上,、系列2、系列3、,导数的重要性不言而喻.
利用导数,不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题,,是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、,高考越来越注重对实际问题的考查,比如最优化问题、最低成本问题等,而利用导数解决这些问题非常方便.
例1(最低成本问题)甲乙两个村子在一条河的同侧,甲村位于河岸的岸边处,乙村位于离河岸的处,,从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为、,问供水站建在何处才能使水管费用最省?(图1)
图1
分析::根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系,随后用导数的知识来解决问题.
解: 如图1,设点距点,则
,,.
总的水管费用为
().
又,令,则.
在上,只有一个极值点,根据实际问题的意义,知处取得最小值,.
例2.(最短时间问题)如图1-4-9所示在直线y=0和y=a(a>0)之间表示的是一条河流,河流的一侧河岸(x轴)是一条公路,且公路上随时随处都有公交车来往,家住A(0,a)的某学生在位于公路上B(d,0)(d>0)处的学校就读,每天早晨该学生都要从家出发,可以先乘船渡河到达公路上某一点,再乘公交车去学校,或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)(v0>0),车速为2v0(水流速度忽略不计).

(1)若d=2a,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所用的最短时间;
(2)若,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所用的最短时间.
解:(1)设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0)(0≤x≤d),再乘公交车去学校,所用的时间为t,则。
令,得,且当时,,
当时,,
所以当时,所用的时间最短,最短时间为
。
答:当d=2a时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是。
(2)由(1)的讨论可知,当时,
在上为减函数,所以当时,即该学生直接乘船渡河到达公路上的学校所用的时间最短。
最短时间为。
答:当时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是。
例3.(最大收益问题)某银行准备新设定一种定期存款业务,经预测:存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),%,又银行吸收的存款能全部放贷出去,试确定当存款利率为多少时,银行可获得最大收益?
解:设存款利率为x,则应有