文档介绍：第三章微分中值定理与导数的应用答案
§ 微分中值定理
1. 填空题
(1) (2) 3 ,
2. 选择题
(1) B (2) C (3) B
3.
证明: 令,则,所以为一常数.
设,又因为,
故.
4.
证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在,使. 又在上
符合罗尔定理的条件,故有,使得.
5.
证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个, ,假设有,且,使,根据罗尔定理,存在使,即,.
6.
证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,,根据零点存在定理,必存在点,使得. 同理,存在点,,故存在, 使成立.
7.
证明: 只需令,利用柯西中值定理即可证明.
8.
(1)
证明: 设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,且, 故, 即
()
因此, 当时,.
(2)
证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有
因为,所以,又因为,所以,
从而.
§ 洛毕达法则
1. 填空题
(1) (2) 0 (3) (4)1
(1) B (2) C
3.
(1)解: =.
(2)解: ===.
(3)解:==.
(4)解:==.
(5) 解: ,
==
.
(6) 解:
(7)解:.
(8)解: =
==.
(9)解: 因为,所以=1.
§ 泰勒公式
1.
解: ,
同理得,且.
由泰勒公式得:=.
2.
解:因为,
所以==.
3.
解:设,则,.
,
故,
则为所求.
4.
解:因为,
所以==,
故.
5.
证明: 因为,: (介于0与之间),
因此,由于,故.
§
1. 填空题
(1) , (2) 增加
(3) (4),, , .
2. 单项选择题
(1)A (2) B (3) D (4)B
3.
(1)解:,当时,,所以函数在区间为单调增加;
当时,,所以函数在区间为单调减少.
(2)解:,
当,或时,,所以函数在区间为单调增加;
当时,,所以函数在区间为单调减少.
(3)解: ,故函数在单调增加.
3.
(1)
证明:令,则, 在内单调增加.
于是, 由, 就有, 即
(2)
证明:设, ,由于当时,, 因此在单调递增, 当时, , 故在单调递增, 当时, ,, 因此.
(3)
证明:设, ,当,,
所以在单调递增, 当时, , 故在单调递增, 从而当时, 有. 因此当时,.
4.
解:设则在连续, 且,
由,得为内的唯一驻点.
在上单调减少,在上单调增加.
故为极小值,因此在的最大值是,最小值是.
(1) 当或时,方程在内无实根;
(2) 当时,有两个实根;
(3) 当时,有唯一实根.
5.
解: ,,所以
解得.
6.
(1)解: , ,
令,得,当时不存在.
当或时, ,当或时, .
故曲线在上是凸的, 在区间和上是凹的,
曲线的拐点为.
(2)解: ,.
当时,不存在;当时,.
故曲线在上是凸的, 在上是凹的,是曲线的拐点,
7.
证明:令, 则, .
当时, , 故函数的图形在上是凸的, 从而曲线在线段(其中)的上方,又, 因此,即.
§ 函数的极值与最大值最小值
1. 填空题
(1)(2) ,
(1) C (2) B (3)A
3.
(1)解:由,得.
,所以函数在点取得极小值.
(2)解:定义域为,,
令得驻点,当时,,当时,.
因此为极大值.
4.
解:.
由,得, .
而, 所以最大值为132,最小值为7.
5.
解:设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为,
由于,因此,
由,得,此时.
由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在的内部取得. 现在在内只有一个根,故当, 时, 内接锥体体积的最大.
6.
解: 设, 与间的运费为, 则
(),
其中是某一正数.
由, 得.
由于, , , 其中以为最小, 因此当AD=km时, 总运费为最省.
7.
解: 问题转化为求过点的线段的最大值. 设木料的长度为, ,木料与河岸的夹角为,则,
且, .
则,
由得, 此时,
故木料最长为.
§ 函数图形的描绘
1.
解:由,所以为曲线的铅直渐近线.
因为