第三章 微分中值定理与导数的应用作业习题.doc

文档介绍：第三章微分中值定理与导数的应用作业习题
1、证明下列的不等式。
(1);(2)。
2、设是任意实数,求证
在内必有零点。
3、设在可导,存在,,求证。
4、求下列极限。
(1);(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);(8)。
5、求函数的单调区间与极值点。
6、证明当时,有。
7、求证当时,有。
8、证明方程有且仅有三个实根。
9、求椭圆的曲率半径。
10、在半径为R的球内作一内接圆锥体,要使锥体体积最大,问其高,底半径应是多少?
作业习题参考答案:
证:(1)取在上对用拉格朗日中值定理,使得
,
即。
(2)取在上对用拉格朗日中值定理,
,使得
故。
2、证:设
则;由罗尔定理,,
使即是在上的零点。
3、证:对则在上可导,不妨记
。
由拉格朗日中值定理,有
。
又,故
故。
4、解:(1)
。
(2)
。
(3)=
故=。
(4)。
(5),
故=。
(6)=,
=
故。
(7)

。
(8)

=。
5、解:。
(0,1)
1
(1,)
(,)
-
0
+
0
-
极小值
极大值
的单调减少区间是(0,1)与(,);
单调増加区间是(1,)。
的极小值是极大值是。
6、证:先对原不等式变型得
当时,所以原式。
设。
当时,故所以在严格増加。
,
即当时,。
7、证:设,则(舍弃-1)。
因为。
所以在上最大值为2,最小值为,即
亦即。
8、证:设易知,
因为由连续函数介值定理
使得即至少有三个零点。
假设=0有四个根,记为,由罗尔中值定理,有三个零点,有二个零点,有一个零点。这显然不可能。故方程有且仅有三个实根。
9、解:在椭圆两边同时对求导,得
;
;
,
曲率半径。
10、解:设圆锥底半径为,高为,故圆锥体积是,
R
r
h-R
如图代入得
,
(舍去)。
故由的符号易知,此时达到极大值。 在上只有一个极大值,是最大值。
故当时,球内接圆锥体积最大。