第三章 微分中值定理与导数的应用习题课.doc

文档介绍：第三章微分中值定理与导数的应用
微分中值定理:
罗尔Rolle定理;
拉格朗日Lagrange定理;
推论1:设为区间,如果,有,则在上,(常数).
推论2;如果,有,则在内,(常数).
柯西Cauchy定理
洛必塔法则与未定式的计算
""型:
""型:
其它未定式:
泰勒公式
公式:皮亚诺余项,拉格朗日余项.
常用的泰勒公式:
①
②
③
④
⑤
可导函数单调性的判别法与极值
可导函数单调性的判别法:
命题1:设,并在内可导,则
在上单调增加(减少)
①
②不在的任一子区间上恒为零.
极值(极值点)的判定方法:
①结合单调性讨论;
②用二阶导数讨论;
极值点,驻点,不可导点之间的关系(从费马定理开始).
求在区间上连续函数的最值的一般步骤
求的全部实根,记为:;
求导数不存在的点,记为:;
计算函数值,,,以及;
比较第三步的函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.
函数凹凸性的判别法与拐点
函数凹凸性的判别法
命题1:设,并在内可导,则
为向上凹在内单调增加;(即切线斜率单增)
命题2:设,在内存在,则
②
为向上凹.
命题3:设,并在内可导,则
为向上凹,有:
.
拐点
结合凹凸性讨论.
曲线的渐近线
铅直渐近线
若,则是曲线的铅直渐近线.
水平渐近线
若或(为常数),则是曲线的水平渐近线.
斜渐近线
若或存在,则是曲线的一条斜渐近线.
函数作图的步骤
求出函数的定义域;
考察函数的奇偶性,周期性;
求出方程的全部实根,导数不存在的点,列表判别函数的单调区间与极值点.
求出方程的全部实根,导数不存在的点,列表判别函数的凹凸性与拐点.
求出函数的铅直渐近线和斜渐近线.
补充一些点,画出图形.
解题方法:
利用中值定理证明等式不等式;
利用导数判断函数的单调性,极值,凹凸性,拐点,最值;
利用洛必塔法则求未定式极限.
设在上连续,在内可导,,则在内至少存在一点,使:
.
分析:要证,,令
,由罗尔定理.
设在上且可导,证明存在一点,使:
分析:要证,,由拉格朗日定理,即可.
应用微分中值定理,往往需要先建立辅助函数,使辅助函数满足中值定理的条件,从而利用中值定理的结论解决问题.
证明方程在开区间内只有一个实根.
分析:证明方程只有