文档介绍：第三章一元函数积分学
2008考试内容(本大纲为数学1,数学2-4需要根据大纲作部分增删)
原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton –Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用
2008考试要求
理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念。
掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分与分部积分法。
会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式。
了解反常积分的概念,会计算反常积分。
掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值。
第一节一元函数积分学之一(原函数)
原函数的概念及其等价描述
概念:设有函数和可导函数,如果对区间上的任何一点,都有,则称为在区间上的一个原函数。构成的全体原函数,叫做的不定积分,记为:
或。
原函数的性质:
●存在,且原函数一定是连续函数;
●验证是否为的原函数,分两步
第一步:在区间上是否连续;
第二步:验证是否成立。
当连续时,则一定有原函数,且,因为。
当连续时,则一定有原函数,且可以写成;当不连续时,却不一定是的原函数,但在区间内必连续。
连续奇函数的原函数为偶函数;连续偶函数的原函数为奇函数与常数之和。
当存在第一类间断点时,则一定没有原函数,,
证明如下:设是的第一类间断点,且在上有原函数,则
由于第一类间断点单侧极限存在,则推出
所以,当存在第一类间断点时,则一定没有原函数。
当存在第二类间断点时,则可能有也可能没有原函数。参见本章相关例题。
原函数的应用
■题型1 与原函数相关的题法
【例 1】设为的原函数,求。
解:
【例 2】下列命题不正确的是
解:选。
,正确;
,正确;
在内不连续,但它存在原函数;
根据原函数的定义有:。显然正确。
【例 3】设是在区间上的原函数,则
解:由于,故,但未必有界,例如:在上的原函数是,而在上就无界。故选
【例 4】设, 在区间连续,则在上
解:只有奇函数的原函数才一定是偶函数,偶函数的原函数可能是奇函数,也可能不是,显然和都是偶函数,故不正确,而
的一个原函数为,而
故为奇函数,所以正确。
【例 5】设是在区间的一个原函数,则在在上
解:,故必连续,必存在原函数,故正确。
【例 6】,则的原函数是:
解:中在点不连续,故都不是的原函数,不满足,故也不是的原函数,因此正确。
【例 7】,则:
解:选。
不正确,理由在的分析中。
对本题我们有:
显然,是连续的。但是:
故不正确。
正确。
【例 8】。则在内下列正确的是:
解:可以验证为的第二类间断点,因为:
,故为的第二类振荡间断点,可能存在原函数。
又:
第二节一元函数积分学之二(不定积分与变限积分)
一、三基及其拓展
1)不定积分定义:对任一,可导函数的导函数为,即;那么称为的原函数。全体原函数的集合称为上的不定积分,记为:。连续函数一定存在原函数和具有有限个第二类间断点的非连续函数可能存在原函数,具有第一类间断点的非连续函数不可能存在原函数。
2)变限积分定义:在原函数存在的条件下,由不定积分定义衍生而来。
由于是某一个具体函数,由莱布尼茨公式得:
可见:变限积分可以视为不定积分的某一个原函数。
●变限积分的求导方法:
3)重要结论:
●离散点不构成区间,但可以构成函数的定义域;如,它的定义域就是离散点,没有定义区间,故没有原函数(注意:对于一范围,如果是区间,则成立,不成立;如果是定义域,则都成立。一切初等函数在它的定义区间必连续,故必有原函数;但在其定义域内就不一定,因为定义域不一定包含区间)。
●属于反常积分范畴,一般不定积分或定积分的结论不适合反常积分,因为4个一维积分:不定积分、变限积分、定积分和反常积分是四种类型的积分,不可视为同一积分的不同特殊情形。
●通常我们约定原函数的存在要认为是二者定义域的公共部分;如,公共部分为,的公共部分为
●初等函数的原函数不一定为初等函数,如初等函数的原函数不是初等函数;
●原函数不唯一,它们是只差一个常数的函数族,如:;
●为连续的奇函数为偶函数;
为连续的偶函数为基函数。