文档介绍：第4章一元函数积分学
本章主要包括不定积分和定积分两部分,其重点是积分中值定理及其应用,难点是定积分可积性理论.
§1 不定积分
I 基本概念与主要结果
一不定积分的概念与性质
1 定义
设函数在区间上有定义,如果存在上的函数,使得
, ,
,记作
,
即,其中为任意的实常数,通常称之为积分常数.
注1 原函数的存在性:若函数在区间I上连续,则必存在原函数.
注2 原函数若存在,则必有无穷多个,且彼此仅相差一个常数.
注3 并不是没一个函数都存在原函数,如具有第一类间断点的函数.
注4 初等函数在其定义域内一定有原函数,但初等函数的原函数未必是初等函数,如
因此,不定积分给出了一种新的函数表示法.
2 性质
(1);
(2);
(3);
(4);(为实常数).
二不定积分基本公式
1 ,
,,
;
2 ,
;
3 ;
, ;
, ;
, ;
4 , ;
5 ,
;
6 , 特别地;
, 特别地;
7 ,
,
,
.
三不定积分法则
1 分部积分法
设和都是可导函数,且不定积分存在,则存在,且
.
2 换元积分法
. (1)
第一换元积分法:已知右端不定积分,求左端(凑微分法)
设可导,且,则
.
第二换元积分法:已知左端不定积分,求右端
设函数在可导,,且,函数在有定义,,有,则在存在原函数,且
基本步骤:
令,
(2)求,
(3)代入得.
基本方法:
第一换元积分法:常用于以下几类函数
关于自变量线性函数
二次函数,如:
被积函数可写成,如
被积函数可写成形式,如
被积函数可写成
被积函数可写成形式,,
,等形式;
被积函数可写成形式;
被积函数含有指数函数,令;
倒代换;
被积函数含有的正整数次幂;
被积函数含有反三角函数等.
第一换元积分法的关键::从中分出一部分与凑成,余下可以表示为的函数,即把表示成
第二换元积分法(常用去根号)
(1)被积函数含有:
1),令,
2),令,
3),令,
根据所作的假设,可画图求其余的各三角函数表达式.
(2),令;
(3),令;
(4),令(万能替换).
分部积分法常用于:
对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等与多项式函数之积;
三角函数与指数函数之积.
四几类函数的不定积分求法
1 有理函数的不定积分
,其中分别为次与次多项式,可转化为以下形式的不定积分之和.
(1);
(2) ;
显然
(1)
(2) =,
其中,.当时,有
,
当时,则有
.
2 简单无理函数
.
基本原则:化无理函数为有理函数
(1)型函数,是常数,且.
令,;
(2)其中是常数,.
若则,令
,
即;若令
,
则得
;
或令,则得
.
3 三角函数的不定积分
(1)万能代换
设,有
,
,
从而
,
即可化为有理函数的不定积分.
(2)是的奇函数,即=,令.
(3)是的奇函数,即=,令.
(4)若,则令.
(5)若被积函数是情形则有
1) 中至少有一个是奇数,比如则令,得
2)若中均为偶数,则由
,
将其化简直至某一幂次为奇数为止.
(6)被积函数是三角函数乘积形式,可用积化和差公式:
,
,
.
II 典型例题
不定积分不是考研的重点,但许多问题涉及到不定积分的计算,因此,要做一定量的不定积分的计算题。
例1 计算
; (2).
解
=.
(2)
解法二
例2 计算:
(1); (2).
解(1);
(2)
.
例3 计算:.
解由于
,
所以,
原式.
例4计算:
(1) (2).(华中科技大学)
解(1)原式.
或
(2)原式
.
或原式
注不定积分有时表现形式有较大区别,如本例(2),其正确性的验证:求导是否等于被积函数。
例5 计算.
解,令,则,于是
原式;
用待定系数法可得:,于是原式可变为
例6 计算:。
解令或,当时,则
,
于是
若,则,所以
例7 计算。
解,令,则
。
例8 计算(1)(西安交大); (2)。
解(1)当时,;
当时,
。
(2)
。
例9 计算:。
解
例10 计算:
解法一令,则
(此处可直接利用公式)
联立解之得
解法二亦可直接积分,然后解方程组即可,事实上
解之便得与的值。
例11 计算:
解
。
例12(分段函数)设