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行列式在高中几何中的应用——三阶行列式的应精选优质文档-----倾情为你奉上
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行列式在高中几何中的应用——三阶行列式的应用

向量作为沟通代数与几何的桥梁被引入高中数学，大大简化了几何问题运算量；在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。行列式在求法向量时比较简洁，明快，并且三阶行列式还可以求点到平面的距离，四面体，平行六面体的体积．
一、行列式的定义
阶行列式的定义：符号
第1行
第2行
第行
…
第1列
第2列
第列
叫做阶行列式．其中表示行列式中第行第列上的元素，即第一下标表示行数，第二下标表示列数．如表示第行第列上的元素．这里只介绍三阶行列式的运算规定以及应用．
二阶行列式的定义：符号

三阶行列式的定义：符号
叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．
下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．
二、利用三阶行列式求法向量
1．定义：设平面内不共线的两个的向量的坐标为，
，则行列式
叫平面的一个法向量，记为．
例：直棱柱中，，
，为棱的中点．求平面的一个法向量．
如图，建立空间直角坐标
系，则
，
，
，，，
，，取面内两个不共线向量，，
则平面的一个法向量为：
；
2．应用举例
（1）证明线面平行：平面
的一个非零法向量是，
平面外一条直线的一
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个非零方向向量是，则平面
的充要条件是．
（2）求二面角：面
面，面的一个非
零法向量是，面的一
个非零法向量是，则二面角的大小为：或．
【例1】正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，是的中点．
（I）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：，则：，，
，，，
，，则
，
，
平面的一个法向量为：
即，，
，所以平面．
（Ⅱ）面的一个法向量为：
，
面的一个法向量为：
，，
则，因此二面角的余弦值为．
（3）求异面直线的公共法向量：
与是异面直线，向量是直线的方向向量，是直线的方向向量，则异面直线与的一个公共法向量是：
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