文档介绍：向量作为沟通代数与几何的桥梁被引入高中数学,大大简化了几何问题运算量;在立体几何中常用法向量来解决距离问题,夹角问题,于是求法向量又是一个新问题。行列式在求法向量时比较简洁,明快,并且三阶行列式还可以求点到平面的距离,四面体,平行六面体的体积.
一、行列式的定义
阶行列式的定义:符号
第1行
第2行
第行
…
第1列
第2列
第列
,即第一下标表示行数,.
二阶行列式的定义:符号

三阶行列式的定义:符号
叫做三阶行列式(等号右边是运算结果).
下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用.
二、利用三阶行列式求法向量
:设平面内不共线的两个的向量的坐标为,
,则行列式
叫平面的一个法向量,记为.
例:直棱柱中,,
,.
如图,建立空间直角坐标
系,则
,
,
,,,
,,取面内两个不共线向量,,
则平面的一个法向量为:
;

(1)证明线面平行:平面
的一个非零法向量是,
平面外一条直线的一
个非零方向向量是,则平面
的充要条件是.
(2)求二面角:面
面,面的一个非
零法向量是,面的一
个非零法向量是,则二面角的大小为:或.
【例1】正三棱柱的侧棱长为,底面边长为,是的中点.
(I)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
解:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系:,则:,,
,,,
,, 则
,
,
平面的一个法向量为:
即,,
,所以平面.
(Ⅱ)面的一个法向量为:
,
面的一个法向量为:
,,
则,因此二面角的余弦值为.
(3)求异面直线的公共法向量:
与是异面直线, 向量是直线的方向向量,是直线的方向向量,则异面直线与的一个公共法向量是:
法向量求两异面直线距离的基本思想:在空间中取两条异面直线和,且他们的一个法向量为,因为直线,记垂足为,,记垂足为,则线段的长就是异面直线和的距离,
如图,记法向量与的夹角为,则
,即,
,
故.
其中、分别为两异面直线上的任意点,并且此两点必须分居在两直线上.
【例2】已知正方体的棱长为.
求异面直线与的距离.
解:建立如图所示的空间直
角坐标系,
则,
,,,
,
于是异面直线与的一个法向量为
分别在异面直线与各取一点、,
异面直线与的距离为
三、利用三阶行列式求平面方程
定理:过三点、、
的平面的方程为:
.
定理:若平面的方程为:,
则平面外一点到平面的距离为:
.
【例3】已知正方形的边长为,平面,,、分别是、的中点,求点到平面的距离.
解:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系:
,则:,,,, 则平面的方程为:
即:
亦即:
所以到平面的距离为:
.
四、利用三阶行列式求四面体的体积
定理:记平行六面体的一个顶点引出的三边所对应的向量、
、,则平行六面体的体积为:
.
说明:定理中的三向量只
要是平行六面体的同一顶
点引出的都可以,如、
、等都行.
定理:记四面体的一个定点引出的三边所对应的向量坐标分别为:、
、,则四面体的体积为