文档介绍：第四章：根轨迹分析法
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根轨迹的概念
根轨迹图
根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点）随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹。
例4 或
满足相角条件的表达式为
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二、绘制根轨迹的基本规则
通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条：
根轨迹的起点与终点；
根轨迹的分支数、连续性和对称性；
实轴上的根轨迹；
根轨迹的渐近线；
根轨迹在实轴上的分离点与会合点；
根轨迹的出射角和入射角；
根轨迹与虚轴的交点。
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规则一根轨迹的起点和终点
幅值条件可写成

当，必须有
此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益。
当时，必须有，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益。
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下面分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点),如例4-1。
3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。
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结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（ )；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。
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规则二根轨迹的分支数、连续性和对称性
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。
系统开环根轨迹与复变量s有一一对应的关系，当由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。
结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。
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例4-3 设系统的开环传递函数为其中、、、、为实极点和实零点，为共轭复数零、极点，它们在s平面上的分布如图4-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即
规则三实轴上的根轨迹
若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。
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图4-4 实轴上的根轨迹
选择so作为试验点。开环极点到s0点的向量的相角为
开环零点到s0点的向量的相角为
在确定实轴上的根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。
实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1 、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为180o。若s0为根轨迹上的点，必满足
结论：只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。
p1
p2
p3
p5
p4
z1
z2
s0
z4
z3