文档介绍：§ , 2, 3 习题
1-14. 应该独立熟练完成. (如果有问题, 望利用答疑)
15. (略). 见本章Desargues定理的证明.
16. (作业). 运用本节的5对结论, 耐心计算即可, 画草图更有利思考.
17. 提示: 设定直线x2–kx3=0上的动点为O(a, k, 1).
先计算Q, R的坐标得:Q(a, 0, 1), R(a, k, 0).
再求QR与A2A3的交点得:X(0, k, –1).
因为X的坐标与a无关, 所以X为定点.
A1X的方程为:x2+kx3=0.
§ , 2, 3 习题
18. (属线性代数问题)lia+mib+nic共线不全为0的数p,q,r, 使得
(因为a,b,c不共线)
(因为p,q,r不全为0)
§ , 2, 3 习题
19.
20. 求出这两个无穷远点的坐标, 写成(1,λ, 0)的格式, 即可看出垂直(斜率之积为–1).
§ , 2, 3 习题
20. 由非齐次关联关系Ux+Vy+1=0, 过原点的直线和在无穷远直线上的点、原点和无穷远直线均没有非齐次方程!
22, 23. 请自行完成.
. 要求熟练掌握第3题的类型, 今后要用.
§ 平面对偶原则
一、平面对偶原则
重要原理! 贯穿全书!
1. 基本概念
(1). 对偶元素
点
直线
(2). 对偶运算
过一点作一直线
在一直线上取一点
(4). 对偶图形
在射影平面上,设已知由点、直线及其关联关系
构成的图形Σ,若对Σ作对偶变换,则得到另一个图形Σ'. 称Σ、Σ'为一对对偶图形.
图形Σ
图形Σ'
作对偶变换
互为对偶图形
(3). 对偶变换
互换对偶元素地位、作对偶运算
一、平面对偶原则
2. 基本对偶图形举例
(1) 点
(1)' 直线
(2) 点列(共线点集)
(2)' 线束(共点线集)
(3) 点场(共面点集)
(3)' 线场(共面线集)
(4) 简单n点形:n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线构成的图形.
(4)' 简单n线形:n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次相交的交点构成的图形.
顶点:n个;边:n条.
边:n条;顶点:n个.
下面分别考察n=3和n=4的情形
§ 平面对偶原则
简单n点(线)形:n=3
简单三点形
简单三线形
简单n点(线)形:n=4
简单四点形
简单四线形
显然,简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关
§ 平面对偶原则
(5) 完全n点形:n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形.
(5)' 完全n线形:n条直线(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形.
顶点:n个;
边:n条;
完全n点(线)形:n=3
完全三点形ABC
完全三线形abc
一对自对偶图形. 将不加区分, 简称三点形或三线形.
§ 平面对偶原则
完全n点(线)形:n=4
完全四点形ABCD
完全四线形abcd
射影几何中最重要的一对图形
§ 平面对偶原则