两类曲面积分的计算方法;.doc

文档介绍：高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
高等数学课程建设组
第十章 曲线积分与曲面积分
教学目的：
理解两类曲线积分的概念L2, 则
;
性质3设在L上f(x, y)£g(x, y), 则
.
特别地, 有

二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为
.
另一方面, 若曲线L的参数方程为
x=j(t), y=y (t) (a£t£b),
则质量元素为

,
曲线的质量为
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.
即 .
定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为
x=j(t), y=y(t) (a£t£b),
其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一阶连续导数, 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 则曲线积分存在, 且
(a<b).
证明（略）

应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b.
讨论:
(1)若曲线L的方程为y=y(x)(a£x£b), 则=?
提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(a£x£b),
.
(2)若曲线L的方程为x=j(y)(c£y£d), 则=?
提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(c£y£d),
.
(3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a£t£b),
则=?
提示: .
例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.
解 曲线的方程为y=x2 (0£x£1), 因此
.
例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为
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m=1).
解 取坐标系如图所示, 则.
曲线L的参数方程为
x=Rcosq, y=Rsinq (-a£q<a).
于是
=R3(a-sina cosa).
例3 计算曲线积分, 其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧.
解 在曲线G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且
,
于是
.
小结: 用曲线积分解决问题的步骤:
(1)建立曲线积分;
(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;
(3)将曲线积分化为定积分;
(4)计算定积分.
§10. 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
设一个质点在xOy面内在变力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B, 试求变力F(x, y)所作的功.
用曲线L上的点A=A0, A1, A2, × × ×, An-1, An=B把L分成n个小弧段,
设Ak=(xk , yk), 有向线段的长度为Dsk, 它与x轴的夹角为tk , 则
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(k=0, 1, 2, × × ×, n-1).
显然, 变力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似为
;
于是, 变力F(x, y)所作的功
,
从而
.
这里t=t(x, y), {cost, sint}