文档介绍：函数的单调性与导数(一)
一、教学目标:.
二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
(一)复习引入
、减函数的定义
一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I:如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变
量 x1 ,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2 ),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数.
当 x1 <x2 时,都有 f(x1)>f(x2 ),那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.

如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具
有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x) 的单调区间.
在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
例 1 讨论函数 y=x2-4x+3 的单调性.
解:取 x1<x2 ,x1、x2 ∈R, 取值
2 2
f(x1 )-f(x2)=(x1 -4x1 +3)-(x2 -4x2+3) 作差
=(x1 -x2)(x1 +x2-4) 变形
当 x1<x2 <2 时,x1 +x2-4<0,f(x1 )>f(x2), 定号
∴y=f(x)在(-∞, 2)单调递减. 判断
当 2<x1<x2 时, x1+x2 -4>0,f(x1)<f(x2 ),
∴y=f(x)在(2, +∞) y=f(x)在(-∞, 2)单调递减,y=f(x)在(2,
+∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性?
y (-∞,2) (2,+∞)
y=f(x) 减函数增函数
切线
2 负正
斜率
x
f '(x) <0 >0
O 2 4
-2
用心爱心专心- 1 -
一般地,设函数 y=f(x)在某个区间内可导,
如果 f(x)'>0,则 f(x)为增函数; 如果 f(x)'<0,则 f(x)为减函数.
例 P24 面的例 1。
例 f(x)=x2 -2x+4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解: f(x)'=2x-2. 令 2x-2>0,解得 x>1. y
因此,当 x∈(1, +∞)时,f(x)是增函数.
令 2x-2<0,解得 x<1. 3
2
1
因此,当 x∈(-∞, 1)时,f(x)是减函数. O 1 2 3 x
例 f(x)=2x3 -6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:f(x)'=6x2 -12x. y
令 6x2-12x>0,解得 x<0 或 x>2. 6
因此,当 x∈(-∞, 0)时,函数 f(x)是增函数, 4
当 x∈(2, +∞)时, f(x)也是增函数.
2
令 6x2-12x<0,解得 0<x<2. 2
O x
因此,当 x∈(0, 2)时,