文档介绍：〔江苏专用〕2022版高考数学三轮复****解答题专题练〔四〕解析几何文苏教版
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解答题专题练(四)　解析几何
(建议用时：40分钟)
1．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，假设过点F且斜率代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
因为l为抛物线C的切线，
所以Δ＝0，解得b＝＝x＋1.
设P(m，m＋1)，那么＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.
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由(1)可知，x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
因为y－y＝4(x1－x2)，所以y1＋y2＝4＝4，所以·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，
当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时等号成立，那么·的最小值为－14.
2．解：(1)依题意，设此椭圆方程为mx2＋ny2＝1，
过点M(4，2)、N(，3)，可得，
解得m＝，n＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)(i)当直线OP，OQ的斜率均存在时，不妨设直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，
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依题意＝2，化简得(x－8)k－2x0y0k1＋y－8＝0，
同理(x－8)k－2x0y0k2＋y－8＝0.
所以k1，k2是方程(x－8)k2－2x0y0k＋y－8＝0的两个不相等的实数根，k1k2＝.
因为＋＝1，所以y＝12－x.
所以k1k2＝＝－，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
那么·＝－，所以yy＝xx，
因为，所以，
所以＝xx，
所以x＋x＝24，y＋y＝12，
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所以OP2＋OQ2＝36.
(ii)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36，
综上，OP2＋OQ2＝36.
3．解：(1)假设r＝2，M(4，2)，那么A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为x－3y＋2＝0，
联立解得P.
直线MA2的方程为x－y－2＝0，
联立解得Q(0，－2)．
由两点式得直线PQ的方程为2x－y－2＝0.
(2)法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)．
设M(a，t)，那么直线MA1的方程为y＝(x＋r)，直线MA2的方程为y＝(x－r)，
联立
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解得P.
联立
解得Q.
于是直线PQ的斜率kPQ＝，
直线PQ的方程为y－＝·.　
令y＝0得x＝，是一个与t无关的常数，
故直线PQ过定点.
法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)．
设M(a，t)，那么直线MA1的方程为y＝(x＋r)，直线MA2的方程为y＝(x－r)，那么直线MA1与圆C的交点为P(x1，y1)，直线MA2与圆C的交点为
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Q(x2，y2)．
那么点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线[(a＋r)y－t(x＋r)][(a－r)y－t(x－r)]＝0上，
化简得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2)＝0.①
又因为点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2＋y2－r2＝0.②
由①＋t2×②＝0得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2)＋t2(x2＋y2－r2)＝0，
化简得(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.
所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝＝0得x＝，故直线PQ过定点.
4．解：(1)设l：y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C：＋
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eq \f(y2,3)＝1交于A，B两点，且OA⊥OB，
所以∠AOB＝90°，所以·＝0，
所以x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，
所以(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0，(*)
联立，消去y得x2＋3(kx＋t)2＝9，即(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，那么x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ＞0，代入(*)，
得(1＋k2)(3t2－9)－6k2t2＋t2(1＋3k2)＝0，所以3t2－9－9k2＋t2＝0，
所以t2＝(1