文档介绍：传热学
第 4 章热传导问题的数值解法
数值解法:
有限差分法,有限元法及边界元法。
分析解法:
(1)对导热微分方程式在规定的边界条件和
初始条件下积分求解。
(2)求解结果能清楚显示各种因素对温度分布
的影响,但仅适用于简单的导热问题,同时解
的形式复杂。
导热问题的求解方法:
实验方法:
相似原理指导下的实验方法。
导热问题数值求解的基本思想
理论基础:离散数学。
基本思想:把原来在时间,空间坐标系中连续的
物理量的场(如导热物体的温度场)用有限个
离散点上的数值的集合来代替,通过求解按一定
方法建立起来的关于这些值的代数方程,来获得
离散点上被求物理量的值,这些离散点上被求物
理量值的集合称为该物理量的数值解。
基本方法:
有限差分法(finite-difference)
有限元法(finite-element)
边界元法(boundary-element)
导热问题数值求解基本思路
分析;二维矩形区域内的稳态,无内热源,
常物性的导热问题。
数值求解的步骤;
1. 建立控制方程及定解条件
控制方程:描述该导热问题的导热微分方程。
定解条件:边界条件。
二维,稳态,无内热源,常物性的导热:
举例
导热微分方程:
t0
W
H
h1 tf
h2 tf
h3 tf
x
y
2. 区域离散化(discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx,Δy为间隔把
求解区域划分成很多个小的子区域。
步长:相邻两节点间的距离Δx, Δy。
节点:网格线(边界线)的交点。
节点表示:
n
N
M
Δx
h3 tf
m
Δy
m,n
m+1,n
m-1,n
m,n+1
m,n-1
控制容积(control volum):
以节点为中心, 边长等于Δx, Δy的小区域。
节点温度代表以它为中心的控制容积的平均温度。
3. 建立节点物理量的代数方程
离散方程:节点上物理量的代数方程。
二维稳态导热均匀步长时内部节点温度
的代数方程:
举例
4. 设立迭代初场
迭代初场:采用迭代法求解时,需要对被求解
的温度场预先假定一个解,称为初场。
5. 求解代数方程组
6. 解的分析
可进一步计算热流量,热应力及热变形等。
内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容.
两种方法:
泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法.
泰勒级数展开法
根据泰勒级数,导出节点(m,n)处二阶偏导数
的差分表达式:
上两式相加得:
整理得:
其中称为截断误差。
整理成二阶导数的近似代数关系式:
——二阶导数的中心差分表达式
(a)
同理可得:
(b)
将(a), (b)代入导热微分方程式中得离散方程:
设步长Δx=Δy,有:
——二维稳态导热均匀步长时内部节点
温度差分方程
说明
物体内每一个节点的温度都等于它周围相邻
4 个节点温度的算术平均值。