文档介绍：浅谈奥林匹克数学的解题策略
浙江温州22中学高洪武 325003
策略,按字面上的意义是战略、计谋,是指一种总体的行动方针,而非具体的方法。现代认知心理学的研究表明,如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题,那么就需要进行创造性的思维,需要有一种解题“策略”,所以策略的产生及其正确性被证实的过程,常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
在实际情况下,奥林匹克数学问题大多没有固定的模式可循,它要学生去“解一些要求独立思考,思路合理,见解独特和有创造性的问题”。因而,其思维过程是复杂的,对其解题策略的研究也是一项极其困难的任务。本文拟结合竞赛问题,对若干主要的解题策略及其方法进行概括性的分析。
构造法
构造性解题方法是一古老而又崭新的科学方法,常简称为构造法。构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具有的特征,用已知条件中的元素为“元件”,用已知的数学关系为“支架”,在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式,从而使问题转化并得到解决的方法。在思维方式上,构造法常常表现出简捷、明快、精巧等特点,常使数学解题突破常规,另辟蹊径。
利用构造法构造出来的数学对象,所涉及的面广,如数、式、方程、不等式、函数、命题、“抽屉”、程序等等。
例1:已知x>0,y>0,且x + y =c,求z =的最小值,(a ,b ,c 为常数)
分析:如图所示分别将,看作是Rt△ABD与Rt△BCE的斜边,点B是线段AC上的动点,AB = x,BC = y,AD = a, CE = b, AC = c,作点D关于直线AC的对称点,连接E交AC于点B,则==
例2:试问方程:x1+x2+x3+…+x1001=2002
有多少组不同的正整数解?
分析:可以构造这样的一个对应关系:将2002个
相同的球排成一行,则它们之间有2001个间隔,
现将1000块板插入这2001个间隔中,(每个间隔
只能插入一块板)则显然每一组插法与原方程的每一组解产生了一一对应关系,而此时板的插法比较容易求,即2001个间隔中任选1000个间隔分别插入一块板,显然共有种不同的插法,所以原方程共有组不同的正整数解。
例3:已知x , y, z,为正数,且xyz(x + y + z) =1求表达式(x + y )。(y + z)的最小值。(全苏数学竞赛,1989)
分析:构造一个△ABC,其中三边分别为
则面积为S△= (其中p= (a + b +c))
=
=1,另一方面,(x + y)(y + z)==2
故知,当且仅当时,取得最小值,即
y (x + y + z) =时,( x + y)(y + z)取最小值。如x = z =1,y =时,(x + y).(y + z) =2
例4:试证:在半径为1的圆周上存在n个点,它们中任意两点的距离为有理数。(第17届IMO,1975)
分析:构造= (k = 1,2,3,…n),则点A(Cos2,Sin2)在单位圆周上。
当1 k ,m时,考察单位圆周上任意两点A,A间的距离
=(Cos2 -Cos2) +(Sin2 -Sin2)
=
=
=.
所以为有理数,命题获证。
二:问题转化法
问题转化,也称之为化归,是数学家特别善于使用的策略,在奥林匹克数学中也经常用到。当接触到的问题难以入手时,那么思维不应停留在原问题上,而应将原问题转化为另一个比较熟悉而容易解决的问题,通过对新问题的解决,达到解决原问题的目的。
化归表现了思维的变通性和流畅性。苏联数学家雅珞夫基斯卡亚指出“解题----就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题。”
同原问题相比,化归后的新问题必须是已经解决或较为熟悉、简单的问题。
例5:设S =|lg}试求S的元素的个数(全国高中联赛,1990)
分析:由得
。。。。。。。。。。。(1*)
因此S的元素个数就等价与满足(1*)式的有序数对组数问题,注意到=xy=
故利用算术与几何均值不等式,有:
=(当且仅当==时等号“=”成立)
这样,我们又将问题化归为求方程组:
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2*)实数解的组数
容易求得(2*)的解为,即S的元素个数为1,
本题中,我们首先将抽象的集合语言转化为通常所熟悉的数学式子,从而将S元素个数问题化归为一个方程,不等式混合组的解的组数问题,再利用算术与几何均值不等式,我们又将其化归为求解一个十分简单的方程组问题。
例6:甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先又1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,。。。。直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程的种数为------