文档介绍：数学建模十六组
三级火箭发射问题
问题提出
随着科学技术的不断发展,多级火箭早已取代了原始的早期火箭的框架,可为什么各国均不约而同的采用三级火箭,而不是二级、四级或其他呢?
一些关于火箭的图片
下面就这一问题来分析并讨论
解: (1)地球对卫星引力为,为卫星质量,引力常数可由在地球表面满足,得到,于是。又卫星向心力为给出。取), (千米), (千米),代入得火箭速度应为(千米/秒)。
①卫星绕地球运行,为了克服地心引力,应具有一定的速度,这个速度应等于火箭的末速度,即火箭送出卫星时所具有的速度。设卫星绕地球作匀速圆周运动,我们设其速度v , R为地球半径,r为卫星与地心距离,。那么要把卫星送上太空工具,并使其到达离地面600公里的轨道,火箭的末速度应为多少?
②设火箭飞行中速度为v(t),质量为m(t) ,初速为零,初始质量,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u,忽略重力和阻力对火箭的影响。运用一些关系能否推出v(t)关于u、m(t),及的关系式。由此来推断:要提高火箭的末速应采取什么措施?
(2) 考察t到时刻火箭的动量守恒。
左端是火箭动量的减少,右端是喷出气体的动量,由此可得, ,即。
在的条件下解为,可以看出,为了增加火箭速度v,一是改善燃料提高气体喷出的速度u,二是在给定时,改善火箭结构以减少火箭质量。
③火箭质量包括3部分:有效载荷(卫星);燃料;结构(外壳、燃料仓等) 。其中在中的比例难以小于10%,求出当(火箭不带卫星),燃料用完时火箭达到的最大速度为vm =? .已知目前的u=3千米/秒,取,再求。这个结果说明什么?
(3)将,且代入(2)的结果,即得。
当(米/秒), , ,由此可知,在忽略重力阻力,不携带卫星的情况下,火箭的最大速度为7(千米/秒),,所以用单级火箭不能发射卫星。
④假设火箭燃料燃烧的同时,不断丢弃无用的结构部分,即结构质量与燃料质量以和的比例同时减少,运用一些关系求出v(t),燃料用完时火箭未速为多少?
(4)在(2)的动量守恒式中左端不变,而右端丢弃的结构部分的动量为,喷出气体动量为,
既可解得。当燃料用完时,丢弃,只剩下,于是火箭末速
⑤其实④是个理想化的模型,(燃料和结构), 为结构质量( 对各级是一样的).有效载荷仍用表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构,,比例系数为k,求出三级火箭的末速 v3的表达式算要使千米/秒,发射1吨重的卫星需要多重的火箭( 用以前的数据).若用2级或4级火箭,结果如何?由此能得出使用3级火箭发射卫星的道理吗?
(5)利用(2)的结果, ,第一级火箭燃料用完时,末速,丢弃.
第二级火箭点火,
其末速为。
同理,第三级火箭的末速,
于是 又则。要使,在和时可算出k=。
而由k的定义可知。若,
则,若用二级火箭,则(吨)
若用四级火箭,则,由此可见,用三级火箭比两级火箭减少许多,而用4级火箭,考虑到其复杂性及实际价值及m0,不值得用4级火箭。
综上述,我们可以得出结论:
卫星应采取三级火箭发射。
对于模型的发展:
如果是载人登月,那么是否还是用三级火箭?能有比三级火箭更好的方法吗?在三级火箭中三级燃料之间的质量比有没有很好的比例,使得火箭的末速度更高?
附:不采用4级火箭的原因
1:多级火箭采用发动机与1、2级火箭不同,级数越多,要求的技术越高。
2:需要解决发动机的高空启动技术。
3:发射时的故障率以级数成几何增长。
例子:长征3号火箭一共发射12次,其中,第1、8、11次失败,原因就是第3级火箭的发动机发动失败及出现故障。