文档介绍：§ 1引言问题的提出
函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
或者给出函数表
y=f(x)
y=p(x)
x
x0
x1
x2
……
xn
y
y0
y1
y2
……
yn
第二章插值法
满足
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示
原理:
定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的
证明: 设n次多项式
是函数在区间[a, b]上的n+1个互异的节点(i=0,1,2,…,n )上的插值多项式,则求插值多项式P(x)
的问题就归结为求它的系数(i=0,1,2,…,n )。
由插值条件: (i=0,1,2,…,n),可得
这是一个关于待定参数的n+1阶线性方
程组,其系数矩阵行列式为
称为Vandermonde(范德蒙)行列式,因xi≠xj
(当i≠j),故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆
(Gramer)法则,方程组的解
存在惟一,从而P(x)被惟一确定。
惟一性说明,不论用何种方法来构造,也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件()其结果都是相互恒等的。
x0x1 xixi+1 xn-1 xn
y=f(x)
y=p(x)
a
b
在插值区间a, b上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外,在其它点上一般是存在误差的。
若记 R (x) = f(x) - p(x)
则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称
插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。
插值多项式的误差
定理2 设f(x)在a, b有n+1阶导数, x0, x1,…, xn 为
a, b上n+1个互异的节点, p(x)为满足
p(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n)
的n 次插值多项式,那么对于任何x a, b有
插值余项
其中
a<<b 且依赖于x
证明( 略)
拉格朗日插值多项式
两个插值点可求出一次插值多项式,而三
个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1
个时,也就是通过n+1个不同的已知点
,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式的插值问题,使其在各节点上满足
即
由条件( )知,
都是n次的零点,故可设
其中为待定常数。由条件,可求得
于是
代入上式,得
称为关于基点的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式
为基础,就能直接写出满足插值条件
的n次代数插值多项式。
事实上,由于每个插值基函数
都是n次值多项式,所以他们的线性组合
是次数不超过n次的多项式, 称形如()式的插
值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为
()