文档介绍：第六节
Green 公式
Gauss 公式
推广
一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
*三、通量与散度
高斯公式*通量与散度
第十一章
一、高斯( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域由分片光滑的闭曲
上有连续的一阶偏导数,
下面先证:
函数 P, Q, R 在
面所围成,
则有
(Gauss 公式)
高斯
的方向取外侧,
证明: 设
称为XY -型区域,
则
定理1
所以
若不是 XY–型区域,
则可引进辅助面
将其分割成若干个 XY–型区域,
故上式仍成立.
正反两侧面积分正负抵消,
在辅助面
类似可证
三式相加, 即得所证 Gauss 公式:
定理1
例1. 用Gauss 公式计算
其中为柱面
闭域的整个边界曲面的外侧.
解: 这里
利用Gauss 公式, 得
原式=
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
思考: 若改为内侧, 结果有何变化?
若为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
利用质心公式, 注意
例2. 利用Gauss 公式计算积分
其中为锥面
解: 作辅助面
取上侧
介于z = 0及 z = h
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.
所围区域为,
则
利用质心公式, 注意
思考: 计算曲面积分
提示: 作取上侧的辅助面
介于平面 z= 0 及 z = 2
之间部分的下侧.
先二后一
例3.
设为曲面
取上侧, 求
解:
作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
在闭区域上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例4. 设函数
其中是整个边界面的外侧.
注意:
高斯公式
注意:
高斯公式
证:令
由高斯公式得
移项即得所证公式.