文档介绍：电大微积分初步考试小抄
一、填空题
⒈函数的定义域是
(-∞,5).5->0 →<5
⒉ 1 .
,
⒊已知,则= .
⒋若,则.
⒌微分方程的阶数是三阶.∵
(-2,-1)U(-1,∞)
∴
7. 2 .
= x (x – 1)(x – 2)(x – 3),则(0) = -6
y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x
=x4-6x3+11x2-6x , (把0带入X)
9.
或
y=ex .
又y(0)=1 (x=0 , y=1)
,在处连续,则 1 .
(在处连续) ∵
(无穷小量x有界函数)
,
14. sin x+c
(2,3)U(3,∞)
17. 1/2
,则= 27+27ln3
19.= ex2+c
二、单项选择题
⒈设函数,则该函数是(偶函数).∵⒉函数的间断点是()分母无意义的点是间断点∴
⒊下列结论中(在处不连续,则一定在
处不可导),伹连续并一定可导;极值点可能在驻点上,也可能在使导数无意义的点上
⒋如果等式,则( )
⒌下列微分方程中,( )是线性微分方程.
,则该函数是(奇函数).
(2 )时,函数在处连续.
().
()
()
,则()
(x)在点x0处可导,则(,但)是错误的.
(先减后增)
14.()
()
()
()时,函数在处连续.
(先单调下降再单调上升)
,通过点(1, 4)的曲线为(y = x2 + 3).
().
三、计算题
⒈计算极限.
解:
⒉设,求.
解:
,u= -2x
′·(-2x)′=eu·(-2)
= -2·e-2x
∴y′= -2e-2x+
∴dy=(-2·e-2x+)dx
⒊计算不定积分
解:令u=,u′=
∴
∴·2du==2(-cos)+c
= -2cos
⒋计算定积分
u=x,v′=ex,v= ex
∴v′dx=uv
∴原式=2
,求
解:
y1=lncosx
y1=lnu1,u=cosx ∴
y1=
∴dy=()dx
解:
令u=1-2x , u′= -2 ∴
解:u=x,
=
,求
y1=sin3x y1=sinu , u=3x ,
∴y′=2xln2+3cos3x ∴dy=(2xln2+3cos3x)dx
u=x , v′=cosx , v=sinx
令u=lnx, u′=, du=dx , 1≤x≤e 0≤lnx≤1
∴
∴原式=1+5·=
解:
,求
解:
() , , , )
解: u=2x-1 ,=2 du=2dx
∴
解: u=x , ,
四、应用题(本题16分)
用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱,已知钢板每平方米10元,焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费最低?最低总费是多少?
解:设水箱的底边长为x,高为h,表面积为s,且有h=
所以S(x)=x2+4xh=x2+
令(x)=0,得x=2
因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以x=2,h=1时水箱的表面积最小。
此时的费用为S(2)×10+40=160元
欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽各选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?
设长方形一边长为x,∵S=216 ∴另一边长为216/x
∴总材料y=2x+3·216/x=2x +
y′=2+648·(x-1)′=2+648·(-1·)
=2 -
y′=0得2 = ∴x2=324 ∴x=18
∴一边长为18,一边长为12时,用料最省.
欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法