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1、奇数阶幻方——罗伯特法也有人称之为楼梯法如图一:以五阶幻方为例
奇数阶幻方
n为奇数n=3,5,7,9,11……n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法;填写方法是这样:
把1或最小的数放在第一行正中;按以下规律排列剩下的n×n-1个数:
1每一个数放在前一个数的右上一格;
2如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;
3如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;
4如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;
5如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同4;
这种写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯;
口诀:
1居首行正中央,
依次右上莫相忘
上出格时往下放,
右出格时往左放.
排重便往自下放,
右上出格一个样
图一
2、单偶数阶幻方——分区调换法如图二:以六阶幻方为例
①把阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D如图二
图二
注意A、B、C、D的相对位置不能改变,因为为奇数,所以A、B、C、D均为奇数阶幻方
②用连续摆数法在A中填入构成幻方,同理,在B中填入、在C中填入、在D中填入均构成幻方如图三
图三
因为为奇数,所以A、B、C、D均为奇数阶幻方,必然可以用连续摆数法构造幻方
③在A的中间一行上从左侧的第二列起取个方格,在其它行上则从左侧第一列起取个方格,把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调如图四:
图四
不管是几阶幻方,在A中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始;因为当时,,所以本例中只取了一个数
④在A中从最右一列起在各行中取个方格,把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调;如图五
图五
3、双偶数阶幻方——轴对称法如图三:以八阶幻方为例
①把阶的幻方均分成4个同样的小幻方如图六
图六
②在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色以便于区分,然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格如图七
图七
正确理解“每行每列中任取一半的方格”;本例中因为,所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格
③从左上角的方格开始,按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入阶幻方,遇到有底色的方格跳过,计数,这样填满了没有底色的方格如图八
图八
从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入阶幻方,当遇到有底色的方格时空出不填即可
④从右下角的方格开始,按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入阶幻方,这样填满了有底色的方格如图九
图九即为所求幻方;
图九
或者
对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写;写好后,按44把它划分成kk个方阵;因为n是4的倍数,一定能用44的小方阵分割;然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方;图中红色数字可用中心对称得到