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幻方解法概括
幻方解法概括
在一个由若干个摆列整齐的数构成的正方形中,图中任意一横行、一
纵行及对角线的几个数之和都相等,拥有这类性质的图表,称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”,又叫“纵横图”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)(如图一:以五阶幻方为例)
奇数阶幻方
n为奇数(n=3,5,7,9,11)(n=2×k+1,k=1,2,3,4,5)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样:
把1(或最小的数)放在第一行正中;按以下规律摆列剩下的n×n-1个数:
每一个数放在前一个数的右上一格;
假如这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,依旧要放在右一列;
假如这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,依旧要放在上一行;
假如这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;
假如这个数所要放的格已经有数填入,办理方法同(4)。
这类写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯。
口诀:
1居首行正中央,
挨次右上莫相忘
上出格时往下放,
右出格时往左放.
排重便往自下放,
右上出格一个样
图一
2、单偶数阶幻方n=22m+1——分区调换法(如图二:以六阶幻方为例)
①把n=22m+1阶的幻方均分成4个相同的小幻方A、B、C、D(如图二)
图二
幻方解法概括
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(注意A、B、C、D的相对地址不可以改变,由于
2m+1为奇数,因此
A、B、C、D均为奇数阶幻方)
②
用连续摆数法在
A中填入
1——a2构成幻方,同理,在
B中填入
a2+1——2a2、在
C中填入
2a
2+1——3a2
、在D中填入
3a2+1——4a2
均构成幻方(a=n)(如图三)
2
图三
(由于2m+1为奇数,因此A、B、C、D均为奇数阶幻方,必然可以用连续摆数法构造幻方)
③在A的中间一行上从左边的第二列起取m个方格,在其他行上则从左边第一列起取m个方格,把这些方格中的
数与D中相应方格中的数字对调(如图四):
图四
无论是几阶幻方,在A中取数时都要从中间一行的左边第二列开始;由于当n=6时,m=1,因此本例中
只取了一个数)
④在A中从最右一列起在各行中取m-1个方格,把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调。(如图五)
图五
3、双偶数阶幻方n=4m——轴对称法(如图三:以八阶幻方为例)
①把n=4m阶的幻方均分成4个相同的小幻方(如图六)
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图六
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②在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色(以便于划分)
中标出方格(如图七)
,而后以轴对称的形式在其他三个小幻方
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图七
(正确理解“每行每列中任取一半的方格”
。本例中由于m=4,因此在每个小幻方的每行每列上均取
2
个方格)
③从左上角的方格开始,按从左到右、从上到下的次序将
1——64从小到大挨次填入
n阶幻方,遇到有底色的方
格跳过,计数,这样填满了没有底色的方格(如
图八)
图八
(从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大挨次填入n阶幻方,当遇到有底色的方
格时空出不填即可)
④从右下角的方格开始,按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大挨次填入n阶幻方,这样填满了有底色的方格(如图九)
图九即为所求幻方。
图九
也许
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对于n=4k阶幻方,我们先把数字挨次序填写。写好后,按
定能用4*4的小方阵切割。而后把每个小方阵的对角线,象制作
数字,就构成幻方
4*4把它划分成k*k个方阵。由于n是4的倍数,一
4阶幻方的方法相同,对角线上的数字换成互补的
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