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但是到了年, 英国数学家罗素】一为性”, 认识到数学既可以来自现实世界的直接抽象,
提出的一个悖论的确使当时相信集告论天衣无也可以来自人类思维的“自由创造”.这种创造是否可
缝的数学家们巨大的震惊. 罗素把集台分成两娄, 以由人们随意地进行, 数学是否可以完全脱离客观世
甲粪集告它自己是自己的元素,记为如抽象蛹念的界,这是数学哲学家们热烈探讨的问题. 年, .
的集告仍是抽象概念,有∈;乙类集告它自己不是克莱因在《数学: 确定性的丧先一书的导言中说:现
自己的元素,记为如的集合不是,有∈选在数学的困境是,不是只有一种数学,而是有许多种数
两类集合是互相排斥的,一个集合要么属于甲类,要么学,因为种种原因,每一种数学都未能使对立学报的成
属于乙粪,不可兼得. 现在问:』也是一个集告, 它属员满意. ⋯对未来数学的怀疑和不信任巳经代替了对
于哪一粪如果∈,按甲类集合定义有Ⅳ∈;如果过去数学的确信和信任. 对这种最可靠科举的基础的
Ⅳ∈Ⅳ,说明满足甲共集舟定义, 有∈, 当罗寨将争执,使人感到惊奇,说得婉转些, 使人不知所措. 目
自己发现的悖仓告诉弗雷格一时, 前数学的这种状况是对迄夸为止根深蒂固的、广泛著
弗雷格正完成两册论算术基础》巨著, 他在此书的后称的数学真理以及逻辑的完美无缺的一种嘲弄.
记中写遭:对一个科学家来说, 没有一件事比下列事数学哲学的研究和深入是现代数学发展的必然结
实更令扫兴:当他工作完成的时候,突然它的一果, 也是现代数学发展的需要. 下面简要地谈一焘对
块奠基石崩塌下来. 当本书的印吊町快要完成耐, 罗素数学哲学中的几个基本问露的看法, 以期促进数学教
先生给我的一封信就使我陷于这样的境地。”第三次危育界同行对有关问题的了解和研究趣.
机是对数学基础的真正冲击, 它推动人们从逻靴和忻
学的角度深入研究数学基础中的问尉,至夸为,从整数学哲学的几个基本问囊
体上看, 这次危机还没有得到令人满意的解决. 数学建立在什么基础上集告论悖论的出现, 使
年, , 以不同的角度来回
过: 数学的基础以及最终意义问题仍然没有解决. 我答这个问题. 美于数学基础学派的划分, 国内学者的
们根本不知道在什幺方向, 它会找到最终的解决办意见不尽一致,但就数学基础的哲学性方面,大家还是
法,或者能否指望有一个最终的、客观的昝案. 一致地认为分为三大学派.
一
当然,我『注意,危机虽然断出现, 但数学的、逻辅主义派. 代表人物是
发展却并没有停滞,所以, 所谓危机与甚说是“数学的罗素,他们认为全部数学都可以从逻辑推导出来,因而
危机还不如说是数学哲学的危机”. 是逻辑的延展,罗素说过:逻辑即数学的
其次是非欧几何和四元数的建立以爰随后现代数青年时代, 数学即逻辑的壮年时代.”对逻辑主义派的
学向高维、多元,高次的发展, 给数学哲学提出了全新批平是:段如逻辑主义派的看法是正确的,那幺全部数
的课囊. 学就是一门纯形式的、逻辑演绎的科学,而数学的创造
在非欧几何建立之肿, 数学知识主要是积累性的必须由知觉提供直观经验,这样新知识怎么会产生呢
发展, 并没有